5.圆锥曲线参数方程的问题.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(18-05):圆锥曲线参数方程的问题(493) 1257 圆锥曲线参数方程的问题 [母题]Ⅰ(18-05):(2009年安徽高考试题)已知点P(x0,y0)在椭圆=1(ab0)上,x0=acosβ,y0=bsinβ,0β.直线l2与直线l1:x+y=1垂直,O为坐标原点,直线OP的倾斜角为α,直线l1的倾斜角为γ. (Ⅰ)证明:点P是椭圆=1与直线l1的唯一交点; (Ⅱ)证明:tanα,tanβ,tanγ构成等比数列. [解析]:(Ⅰ)由x+y=1y=(a2-x0x),代入=1得:(+)x2-2x+(-1)=0,将 代入得:x2-2axcosβ+a2cos2β=0x=acosβ=x0; (Ⅱ)tanα==tanβ,l1的斜率=-l2的斜率tanγ==tanβtanαtanγ=tan2β,由0βtanβ≠0tanα,tanβ,tanγ构成等比数列. [点评]:圆锥曲线的参数方程问题特指以参数方程包装圆锥曲线的问题,解答该问题的关键是化参数方程为普通方程. [子题](1):(2007年辽宁高考试题)己知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2=2x上,其中O为坐标原点,设圆C是△OAB的外接圆(点C为圆心). (Ⅰ)求圆C的方程; (Ⅱ)设圆M的方程为(x-4-7cosθ)2+(y-7sinθ)2=1,过圆M上任意一点P分别作圆C 的两条切线PE、PF,切点为E、F,求的最大值和最小值. [解析]:(Ⅰ)设A(2a2,2a)(a0),则kOA=,由题知kOA==a= A(6,2)B(6,-2)圆心C(4,0),半径r=|OC|=4圆C:(x-4)2+y2=16; (Ⅱ)由圆心M(4+7cosθ,7sinθ)在以C(4,0)为圆心,半径R=7的圆上;设∠ECF=2α,则=||||cos2α= 32cos2α-16;在RtΔPCE中,cosα==;由R-1≤|PC|≤R+16≤|PC|≤8∈[-8,-]. 注:本题用参数方程包装动圆M的圆心M,具有一定的隐蔽性;凡与圆有关的问题一般考虑用圆的几何性质求解. [子题](2):(1980年全国高考试题)设直线l的参数方程是(t是参数),椭圆E的参数方程是 (a≠0,θ是参数).问a、b应满足什么条件,使得对于任意m值来说,直线l与椭圆E总有公共点. [解析]:由椭圆E:+y2=1,对于任意m,直线l:恒过定点A(0,b),所以,对于任意m,直线l与椭圆E总有公共点定点A(0,b)不在椭圆E的外部+b2≤1+b2≤1. 注:本题用参数方程同时包装直线与椭圆;对于含参数的直线方程,首先确定直线所恒过的定点,由此求解. [子题](3):(1998年全国高中数学联赛试题)若椭圆x2+4(y-a)2=4与抛物线x2=2y有公共点,则实数a的取值范围是. [解析]:由x2+4(y-a)2=4x=2cosα,y=a+sinα,代入x2=2y得:4cos2α=2(a+sinα)a=-2sin2α-sinα+2∈[-1,]. 注:参数方程的基本功能是曲线上任意一点可用一个参数表示,这为解决有曲线提供了一条新的途径. [子题系列]: 1258 [母题]Ⅰ(18-05):圆锥曲线参数方程的问题(493) 1.(2002年全国高考试题)点P(1,0)到曲线(其中参数t∈R)上的点的最短距离为( )(A)0 (B)1 (C) (D)2 2.(2008年江苏高考试题)在平面直角坐标系xOy中,点P(x,y)是椭圆+y2=1上的一个动点,求S=x+y的最大值. 3.(2008年浙江大学保送生考试数学试题)椭圆x2+4(y-a)2=4与抛物线x2=2y有公共点,求实数a的取值范围. 4.(2001年上海交通大学保送生考试试题)2y=x2-6xcost-9sin2t+8sint+9(t∈R,t为参数). (Ⅰ)求顶点轨迹; (Ⅱ)求在y=12上截得最大弦长的抛物线及其长. 5.(1979年全国(付)高考试题)设一直线经过点P(-3,3)与Ox轴的倾斜角为. (Ⅰ)写出这条直线的参数方程; (Ⅱ)设这条直线和曲线x=2cosθ,y=4sinθ相