4.立体几何中的垂直关系.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明 立体几何中的垂直关系 换序转化法判断垂直关系 垂直关系是立体几何中,最根本,也最重要的关系,包括:直线与直线垂直、直线与平面垂直和平面与平面垂直,其中的核心是直线与直线垂直;判断垂直关系除根据三种垂直的定义、判定和性质外,还有换序转化法. [母题结构]:判断垂直关系的换序转化法. [解题程序]:换序转化法包括:①换序分析:要证直线a⊥ 直线b,只需证b⊥a;②转化分析:利用三种垂直的相互转化,每一种垂直的判定就是从某一种垂直开始转化为另一种垂直,最终达到判断目的. 1.直线与直线垂直 子题类型Ⅰ:(1998年全国高考试题)如图,在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中,当底面四边形ABCD满足 条件 时,有A1C⊥B1D1.(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形). [解析]:由直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中,CC1⊥平面A1B1C1D1CC1⊥B1D1B1D1⊥CC1;要A1C⊥B1D1B1D1⊥A1C(换序分析) B1D1⊥平面A1C1C(转化分析)B1D1⊥A1C1.故可填四边形ABCD为正方形、菱形、对角线互相垂直等. [点评]:直线与直线垂直是垂直关系的核心,理解掌握直线与直线垂直的定义、判定和性质以及三种垂直相互转化不仅是判断直线与直线垂直,而且也是判断直线与平面垂直和平面与平面垂直的基础和有力方法, 2.直线与平面垂直 子题类型Ⅱ:(2001年上海高考试题)已知a、b为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,且a⊥α,b⊥β,则下列命题中的假命题是( ) (A)若a∥b,则α∥β (B)若α⊥β,则a⊥b (C)若a、b相交,则α、β相交 (D)若α、β相交,则a、b相交 [解析]:由a⊥α,b⊥β,a∥ba⊥βα∥β(A)正确;由a⊥α,b⊥β,α⊥βb∥αa⊥b(B)正确;由a⊥α,b⊥β,a、b相交α与β不平行α、β相交.综上,故选(D). [点评]:线面垂直是垂直关系中的重要关系,由线面垂直,我们可以定义平面的法线,由此,我们可以利用线来研究面,如若a⊥α,b⊥β,则a∥bα∥β,且a⊥bα⊥β,这是立体几何中一个重要的解题思想. 3.平面与平面垂直 子题类型Ⅲ:(1994年全国高考试题)对于直线m、n和平面α、β,α⊥β的一个充分条件是( ) (A)m⊥n,m∥α,n∥β (B)m⊥n,α∩β=m,nα (C)m∥n,n⊥β,mα (D)m∥n,m⊥α,n⊥β [解析]:由m∥n,n⊥βm⊥β;又由mαα⊥β.故选(C). [点评]:对于面面垂直除掌握判定定理外,还应掌握如下两个定理:①如果两个平面垂直,则在一个平面内与交线垂直的直线垂直于另一个平面;②如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内. 4.子题系列: 1.(2008年湖南高考试题)已知直线m,n和平面α,β满足m⊥n,m⊥α,α⊥β,则( ) (A)n⊥β (B)n∥β,或nβ (C)n⊥α (D)n∥α,或nα 2.(2008年天津高考试题)设a,b是两条直线,α,β是两个平面,则a⊥b的一个充分条件是( ) (A)a⊥α,b∥β,α⊥β (B)a⊥α,b⊥β,α∥β (C)aα,b⊥β,α∥β (D)aα,b∥β,α⊥β 3.(2014年广东高考试题)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( ) (A)l1⊥l4 (B)l1∥l4 (C)l1,l4既不垂直也不平行 (D)l1,l4的位置关系不确定 5.(1999年全国高考试题)α、β是两个不同的平面,m、n是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断:①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确一个命题: . 5.(2006年重庆高考试题)对于任意的直线l与平面α,在平面α内必有直线m,使m与l( ) (A)平行 (B)相交 (C)垂直 (D)互为异面直线 6.(2003年辽宁高考试题)对于四面体ABCD,给出下列四个命题:①若AB=AC,BD=CD,则BC⊥AD;②若AB=CD,AC=B