第讲二项分布及其应用.docVIP

第5讲　二项分布及其应用 【2013年高考会这样考】 1．考查条件概率和两个事件相互独立的概念． 2．考查n次独立重复试验的模型及二项分布． 3．能解决一些简单的实际问题． 【复习指导】 复习时要把事件的独立性、事件的互斥性结合起来，会对随机事件进行分析，即把一个随机事件分拆成若干个互斥事件之和，再把其中的每个事件分拆成若干个相互独立事件之积，同时掌握好二项分布的实际意义及其概率分布和数学期望的计算方法． 基础梳理 1．条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝. 在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝. (2)条件概率具有的性质： 0≤P(B|A)≤1； 如果B和C是两互斥事件，则P(BC|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 2．相互独立事件 (1)对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件． (2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)， P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝P(A)·P(B)． (3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立． (4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立． 3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验 独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的． (2)二项分布 在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为k，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率． 一种关系 可先定义条件概率P(B|A)＝，当P(B|A)＝P(B)即P(AB)＝P(A)P(B)时，事件B与事件A独立．但是要注意事件A、B、C两两独立，但事件A、B、C不一定相互独立． 两种算法 计算条件概率有两种方法． (1)利用定义P(B|A)＝； (2)若n(C)表示试验中事件C包含的基本事件的个数，则 P(B|A)＝. 双基自测 1．(2011·广东)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为(　　)．A. B. C. D. 解析　问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1＝；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2＝×＝.故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝. 答案　A 2．小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是(　　)． A. B. C. D. 解析　所求概率P＝C·1·3－1＝. 答案　A 3．(2011·湖北高考)如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统，当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为(　　)． A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576 解析　P＝0.9×[1－(1－0.8)2]＝0.864. 答案　B 4．如果X～B，则使P(X＝k)取最大值的k值为(　　)． A．3 B．4 C．5 D．3或4 解析　采取特殊值法． P(X＝3)＝C312，P(X＝4)＝C4·11，P(X＝5)＝C510， 从而易知P(X＝3)＝P(X＝4)P(X＝5)． 答案　D 5．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P(B|A)等于(　　)． A. B. C. D. 解析　法一　P(B|A)＝＝＝. 法二　A包括的基本事件为{正，正}，{正，反}，AB包括的基本事件为{正，正}，因此P(B|A)＝. 答案　A　　 考向一　条件概率 【例1】(2011·辽宁)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于(　　)．A. B. C. D. [审题视点] 利用条件概率的计算公式P(B|A)＝计算． 解析　P(A)＝＝＝，P(A∩B)＝＝. 由条件概率计算公式，得P(B|A)＝＝＝. 答案