第讲数形结合思想(高中版)(第课时数形结合).docVIP

第 1 讲 数形结合思想（高中版） （第2课时） 常用的数与形的转化策略有下面一些： 1．实数数轴上的点 例．已知集合A={x｜5–x≥}，B={x｜x2–ax≤x–a}，当AB时，则a的取值范围是 。 解：解得A={x｜x≥9或x≤3}，B={x｜(x–a)(x–1)≤0}，画数轴可得 a＞3 。 2．绝对值距离 例．解不等式 ⑴，⑵，⑶。（高二） 解： ⑴x的绝对值小于5，就是点x到原点的距离小于5的意思。 ⑵x的绝对值大于5，就是点x到原点的距离大于5的意思。 ⑶x-3的绝对值小于5，就是点x到点3的距离小于5的意思。 -5 0 5 -5 0 5 -2 0 3 8 3．集合的运算韦恩图 例．向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？ 解：如图，赞成A的人数为50×=30，赞成B的人数为30+3=33，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生为集合A；赞成事件B的学生为集合B。 设对事件A、B都赞成的学生人数为x，则对A、B都不赞成的学生人数为+1，赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x ， 依题意 (30－x)+(33－x)+x+(+1)=50 ，解得x=21 ， 所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人。 4．集合点集（即曲线） 例. 设a、b是两个实数，A＝{(x，y)|x＝n ，y＝na＋b} （n∈Z），B＝{(x，y)|x＝m，y＝3m＋15} (m∈Z)，C＝{(x，y)|x＋y≤144}，能否使得A∩B≠φ与(a，b)∈C同时成立。 分析：集合A、B都是不连续的点集，“存在a、b，使得A∩B≠φ”的含意就是“存在a、b使得na＋b＝3n＋15(n∈Z)有解（A∩B时x＝n＝m）。再抓住主参数a、b，则此问题的几何意义是：动点(a，b)在直线L：nx＋y＝3n＋15上，且直线与圆x＋y＝144有公共点，但原点到直线L的距离不小于12。 解法一：由A∩B≠φ得 na＋b＝3n＋15 ， 设动点(a,b)在直线L：nx＋y＝3n＋15上，且直线与圆x＋y＝144有公共点， 所以圆心到直线距离d＝＝3(＋)≥12 ∵ n为整数 ∴ 上式不能取等号，故a、b不存在。 点评： 集合转化为点集（即曲线），而用几何方法进行研究。 解法二：本题直接运用代数方法进行解答的思路如下： 由A∩B≠φ得：na＋b＝3n＋15 ,即b＝3n＋15－an （①式）， 由(a,b)∈C得，a＋b≤144 （②式）， 把①式代入②式，得关于a的不等式：(1＋n)a－2n(3n＋15)a＋(3n＋15)－144≤0 （③式）， 它的判别式 △＝4n(3n＋15)－4(1＋n)[(3n＋15)－144]＝－36(n－3) ， 因为n是整数，所以 n－3≠0 ，因而 △0 ，又因为 1＋n0 ，故③式不可能有实数解， 所以不存在a、b，使得A∩B≠φ与(a,b)∈C同时成立。 5．函数图象 例．若log2log20，则 （ ） A. 0ab1 ； B. 0ba1 ； C. ab1 ； D. ba1 。 简解：画出对数曲线，由已知应选B。 例．如果|x|≤,那么函数f(x)＝cosx＋sinx的最小值是 （ ） A. ； B. － ； C. －1 ； D. 。 简解：设sinx＝t后借助二次函数的图像求f(x)的最小值，故应选D。 6．一元多项式的根曲线与x轴的交点的横坐标 7．方程的根曲线交点的坐标 例．设f(x)=x2–2ax+2，当x∈［–1,+∞］时，f(x)＞a恒成立，求a的取值范围。 解法一：由f(x)＞a，在［–1，+∞］上恒成立x2–2ax+2–a＞0在［–1，+∞］上恒成立。函数g(x)=x2–2ax+2–a的图象在区间［–1，+∞］上位于x轴上方，如图两种情况： 不等式的成立条件是：(1)Δ=4a2–4(2–a)＜0a∈(–2，1) (2)a∈(–3，–