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矩阵对角化方法探讨 摘 要： 本文利用矩阵的相关知识,研究了矩阵可对角化的若干方法. 关键词： 可对角化;对角化方法;特征值;特征向量 1 引言 形式最简单的矩阵就是对角阵.矩阵对角化使矩阵论的重要组成部分,在矩阵论中占有重要的作用,研究矩阵对角化问题很有实用价值,矩阵对角化是线性变换和化二次型到主轴上问题中经常遇到并需要解决的一个关键问题,然而并非任何一个阶矩阵都可以对角化.本文利用矩阵的相关知识,如矩阵秩的知识,矩阵乘法原理,对一些理论进行应用和举例,介绍了矩阵对角化的四种方法,分别是一般方法;用矩阵初等变换将矩阵对角化的方法;利用矩阵乘法运算,探讨矩阵对角化的方法;利用循环矩阵的性质寻找矩阵对角化的方法. 2 基本定义 定义1 设是阶方阵,如果存在数和维非零向量,使得 则称是矩阵的一个特征值, 是的属于的一个特征向量. 定义2 设为阶方阵,称行列式 为的特征多项式,记为,而称为的特征方程. 定义3 阶方阵称为可逆的,如果存在阶方阵,使得,其中是阶单位矩阵. 定义 4 设,是阶方阵,若存在阶可逆矩阵,使得,则称与相似,称为的相似矩阵. 定义 5 如果数域上,对级矩阵存在一个可逆矩阵使为对角形矩阵,则称矩阵在数域上可对角化;当可对角化时,我们说将对角化,即指求可逆矩阵使为对角形矩阵. 3 矩阵对角化的几种方法 3.1 一般方法 几个定理 定理 阶方阵相似于对角矩阵的充分必要条件是由个线性无关的特征向量,且当相似于对角矩阵时,的主对角线元素就是的全部特征值. 推论1 方阵相似于对角矩阵的充分必要条件是的属于每个特征值的线性无关的特征向量个数正好等于该特征值的重数. 定理 如果阶方阵有个互不相同的特征值（即的特征值都是单特征值）,则必相似于对角矩阵. 求阶方阵的特征值与特征向量的一般步骤. 第一步：计算特征多项式 第二步：求出特征方程的全部根（重根按重数计算）,则 就是的全部特征值. 如果为特征方程的单根,则称为的单特征根;如果为特征方程的重根,则称为的重特征值,并称为的重数. 第三步：对的相异特征值中的每个特征值,求出齐次线性方程的一个基础解系,则 就是对应于特征值的特征空间的一个基,而的属于的全部特征向量为 （其中为不全为的任意常数） 如果阶方阵相似于对角矩阵,则的相似对角化的一般步骤如下: 第一步：求出的全部特征值; 第二步：对的相异特征值中的每个特征值,求出齐次线性方程组 的一个基础解系,将所有这样的基础解系中的向量合在一起,假定这样的向量共有个,它们就是的个线性无关的特征向量; 第三步：令矩阵=,则有,其中是属于特征值的特征向量.注意的列向量的排列次序于与对角矩阵的主对角线元素的排列次序相一致.如图1所示： 图1 阶方阵的相似对角化过程 应用实例 例1 设矩阵 = 当取何值时,相似于对角矩阵?在可对角化时,求可逆矩阵,使成对角矩阵. 解 先求的特征值,由 = = = ， 得的全部特征值为. 只有一个重特征值-1,故由定理1的推论,可对角化属于2重特征值-1的线性无关特征向量正好有2个齐次线性方程组的基础解系含2个解向量而矩阵 的秩为1当且仅当,故当且仅当时可对角化. 当时,矩阵为= . 计算可得的对应于特征值的线性无关特征向量可取为 ， 对应于的特征值的特征向量可取为. 故所求的可逆矩阵可取为 , 它使得. 注当有个互不相同的特征值时,必可对角化;当有重特征值时,可对角化的属于每个重特征值的线性无关特征向量的个数正好等于该特征值的重数对于的每个重特征值（设的重数为）,矩阵的秩为. 3 用矩阵初等变换将矩阵对角化的方法 理论依据 若矩阵在数域上可对角化,则有上可逆矩阵使为对角形矩阵.于是的主对角线上的元素为的全体特征值,并且可表示为 ,其中为初等矩阵,. 于是,,又也是初等矩阵,由初等矩阵与矩阵的初等变换的关系,即知相当于对施行了一次初等行变换与一次初等列变换.这里,我们称此种初等变换为对施行了一次相似变换. 显然,可对施行一系列的相似变换化为. 又由（注：此处表单位矩阵）可如下进行初等变换,则可将化为对角形矩阵,且可求得 ,对只施行相应的初等