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智康1对1初中数学教师功底测试卷 本试卷只有非选择题部分。考试时间60分钟，满分100分。 本卷共6个题，前4题每题10分，5、6两题各20分，共100分。 1．如图，△ABC中，AB=AE，以AB为直径 作⊙O交BE于C，过C作CD⊥AE于D， DC的延长线与AB的延长线交于点P . （1）求证：PD是⊙O的切线； （2）若AE=5，BE=6，求DC的长. 2．列方程解应用题： 一列火车从车站开出，预计行程450千米，当他开出3小时后，因抢救一位病危旅客而多停了一站，耽误了30分钟，为了不影响其他旅客的行程，后来把车速提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车原来的速度？ 3． 若关于x的一元二次方程m2x2-(2m-3)x＋1=0的两实数根为x1 、x2 ，且x1＋x2=, x1·x2=,两实数根的倒数和是S. 求：（1）m的取值范围； （2）S的取值范围. 4．已知：如图，一等边三角形ABC纸片的边长为2a，E是AB边上一动点，（点E与点A、B不重合），过点E作EF∥BC，交AC于点F，设EF=x. （1）用x的代数式表示△AEF的面积； （2）将△AEF沿EF折叠，折叠后与四边形BCFE 重叠部分的面积为y，求出y关于x的函数关 系式，并写出自变量x的取值范围. 5．下表给出了代数式x2+bx+c与x的一些对应值： x …… -1 0 1 2 3 4 …… x2+bx+c …… 3 -1 3 …… （1）根据表格中的数据，确定b、c的值， 并填齐表格空白处的对应值； （2）设y=x2 + bx + c的图象与x轴的交点为 A、B两点（A点在B点左侧），与y轴 交于点C，P为线段AB上一动点，过P 点作PE∥AC交BC于E，连结PC， 当△PEC的面积最大时，求P点的坐标. 6．请阅读下列材料： 已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB = AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45°.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系. 小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连结E′D， 使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题： （1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数 量关系式，并对你的猜想给予证明； 图（1） （2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线 段CB延长线上时，如图（2），其它条件 不变，（1）中探究的结论是否发生改变？ 请说明你的猜想并给予证明. 图（2） 参考答案 1、 （1）证明：连结OC …………………2分 ∵PD⊥AE于D ∴∠DCE＋∠E=900 ∵ AB=AE , OB=OC ∴∠CBA=∠E=∠BCO 又∵∠DCE=∠PCB ∴∠BCO＋∠PCB=900 ∴PD是⊙O的切线 ……………4分 （2）解：连结AC ………………6分 ∵ AB=AE=5 AB是⊙O的直径 BE=6 ∴ AC⊥BE且EC=BC=3 ∴ AC=4 又 ∵ ∠CBA=∠E ∠EDC=∠ACB=90° ∴△ EDC∽△BCA ………………8分 ∴= 即= ∴ DC= ………………………………10分 2、（本题满分10分） 解：设这列火车原来的速度为每小时x千米………2分 －= ……………………………4分 12x=900 x=75 ………………………………6分 经检验 x=75 是原方程的解 ………………………8分 答：设这列火车原来的速度为每小时75千米.……10分 3、（本题满分10分） 解：（1）b2－4ac=－12m＋9≥0 ∴ m≤ ………………………………2分 又 ∵ m