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初中数学教师考试试卷 一、某污水处理公司为学校建一座三级污水处理池，平面图形为矩形，面积为200平方米（平面图如图ABCD所示）。已知池的外围墙建造单价为每米400元。中间两条隔墙建造单价每米300元，池底建造的单价为每平方米80元（池墙的厚度不考虑） （1）如果矩形水池恰好被隔墙分成三个正方形，试计算此项工程的总造价（精确到100元） （2）如果矩形水池的形状不受（1）中长、宽的限制，问预算45600元总造价，能否完成此项工程？试通过计算说明理由。 （3）请给出此项工程的最低造价（多出部分只要不超过100元就有效） 二、如图，已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°。 求证：（1）EF=BE+DF； （2）. 三、请阅读下列材料： 问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结．若，探究与的位置关系及的值． 小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决． 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： （1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值； （2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． （3）若图1中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）． 四、已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A(0,3)，与x轴分别交于B(1,0)、C(5,0)两点.　(1)求此抛物线的解析式； 　　(2)若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式； (3)若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点(设为点E)，再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F)，最后运动到点A.求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长.1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长； （2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ∥DC?？ （3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围） （4）△PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由． 【试卷解析】 一、解： （1）设，则，依题意 设总造价W元 （元） （2）设，则 整理得 此方程无实数解 预算45600元不能完成此项工程 （3）估算：造价45800元 （不够） 造价46000元，同法可得 （够了） 造价45900元，可得（不够） 最低造价为46000元 二、解：⑴延长CB到G，使GB=DF，连结AG（如图） 又因为AB=AD，∠ABG=∠D=90° 所以△ABG≌△ADF（SAS） 所以∠3=∠2，AG=AF 因为∠BAD=90°，∠EAF=45° 所以∠1+∠2=45° 所以∠1+∠3=45°=∠EAF 又因为AE=AE，所以△AGE≌△AFE（SAS） 所以GB+BE=EF，所以DF+BE=EF ⑵因为△AEF≌△AGE 所以 所以 又 所以 三、解：⑴ 线段与的位置关系是； ． ⑵ 猜想：（1）中的结论没有发生变化． 证明：如图，延长交于点，连结． 是线段的中点， ． 由题意可知． ． ， ． ，． 四边形是菱形， ，． 由，且菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上， 可得． ． 四边形是菱形， ． ． ． ，． ． 即． ，， ，． ． ⑶ ． 四、解：(1)根据题意，c=3， 　　所以 　　解得 　　所以，抛物线解析式为　　 　　(2)依题意可得OA的三等分点分别为(0,1)，(0,2). 　　设直线CD的解析式为y=kx+b. 　　当点D的坐标为(0,1)时，直线CD的解析式为；　　 　　当点D的坐标为(0,2)时，直线CD的解析式为.　　 　　(3)如图，由题意，可得M(0,). 　　点M关于x轴的对称点为M′(0,-)， 　　点A关于抛物线对称轴x=3的对称点为A′(6,3). 　　连接A′M′. 　　根据轴对称性及两点间线段最短可知，A′M′的长就是所求点P运动的最短总路径的长. 　　 　　所以A′M′与x轴的交点为所求E点，与直线x=3的交点为所求F点. 　　可求得直线A′M′的解析式为. 　　可得E点坐标为(2,0)，F点坐标为(3,). 　 　　由勾股定理可求出A′M′=. 　　所以点P运动的最短路径(M