计算物理-渗透.pdf

周吕文 物理学院 (周昕): 现代物理问题的计算机模拟 第 1 页, 共 14 页 周吕文201128000718065 物理学院班 Project # 01 11/24/2011 网格渗透(percolation) 过程的模拟 1 引言 渗透理论 (percolation theory) 是一个简单的相变模型. 在物理研究中的应用越来越广泛, 许 多研究者活跃于这一理论. 渗透理论研究的是渗透物在随机介质中能否通过. 一个典型的例子 就是渗流, 假想某种液体从一个多孔介质的顶部渗入, 那么液体能否通过一个个的孔洞, 最终到 达多孔介质的底部呢? 更形象的例子有 • 一片干草地, 火焰从一块干草区域开始烧, 火焰能够通过整个区域的概率是多少? • 随机的由绝缘和金属材料组成的系统, 系统能够导电的概率是多少? • 假设不考虑人口的迁移, 流行病能从一个区域传到另一个区域的概率是多少? 渗透理论的研究, 促进了对其它许多物理系统的理解, 涉及生物, 物理, 地理等等. 同时渗透 理论也有很重要的实际应用, 如油的回收. 本文将考虑最简单的情况即二维方网格下的渗透模 型, 及其计算机模拟的实现. 2 二维方网格渗透模型 数学上, 渗透理论描述的是随机图中的联通集群问题. 引言中的几个例子可以被描述为含 n n (或 n n n) 个节点的二维 (三维) 方形网络, 相邻节点间以 p 的概率联通, 并且节点与 节点间是否联通是相互独立的, 对于这样一个系统, 给定系统的尺度 n 及概率 p , 从顶部到底部 的至少存在一条通路的概率q 是多少呢? 这个问题是由 Broadbent 和 Hammersley 于 1957 年 首先提出的. 这个问题还可以被进一步扩展, 考虑一个无限大的系统 (n ), 是否存在一个由开放节点 组成的无穷长的通路, 或者称开放群集 (open cluster). 零一定律 (Kolmogorov’s zero-one law) 指出, 对于给定的 p , 无限大的开放群集存在的概率要么几乎是 1, 要么几乎是 0. 然而，存在的 概率是 p 的一个不减函数。因此必然存在一个临界值p , 在 p p 是, 无限大开放群集存在的 c c 概率为 0, 在 p pc 是, 无限大开放群集存在的概率为 1. 实际上, 即使在系统尺度n 较小时, 如 n 100, 存在一条从顶部到底部通路的概率从 0 到 1 的变化也已经相当急剧. 对于有些问 题, pc 存在精确的理论解. 比如二维方网格, 其相变的概率临界值 pc 1/2. 这是由 Kesten 于 1982 给出的. 也有些问题不能给出精确的理论解, 如二维超立方网格. 在本文中, 渗透模型被限制于二维方网格中. 将介质看为一系列的二维网格, 那么渗透问题 及引言中三个例子可抽像为图 1所示的问题, 即由开放点(open site) 和阻碍点 (blocked site) 组 成的系统, 每个网格以一定的概率 p 为开放点 (下文简称点开放概率 q). 能找到一条从顶端到 底端完全由开放点构成的不间断通路的概率 q (下文简称渗透概率q) 是多少? 图1中: • 左图: 系统大小为n 8, 点开放概率 p 0.6. 存在从顶部到底部由开放点构成的不间断 通路, 即产生了渗透. • 右图: 系统大小为n 8