导数知识背景.docVIP

导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。 编辑本段导数（derivative function） 定义 　　设函数y=f(x)在点x0的某个邻域N(x0,δ)内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(设x0+△x∈N(x0,δ))，函数y=f(x)相应的增量为△y=f(x0+△x)-f(x0). 　　如果当△x→0时，函数的增量△y与自变量的增量△x之比的极限lim △y/△x=lim [f(x0+△x)-f(x0)]/△x存在，则称这个极限值为f(x)在x0处的导数或变化率.通常可以记为f(x0)或f(x)|x=x0. 函数的可导性与导函数 　　一般地，假设一元函数 y=f(x )在 点x0的某个邻域N(x0，δ)内有定义，当自变量取的增量Δx=x-x0时，函数相应增量为 △y=f(x0+△x)-f(x0)，若函数增量△y与自变量增量△x之比当△x→0时的极限存在且有限，就说函数f(x)在x0点可导，并将这个极限称之为f在x0点的导数或变化率. 　　“点动成线”：若函数f在区间I 的每一点都可导，便得到一个以I为定义域的新函数，记作 f(x) 或y，称之为f的导函数，简称为导数. 导数的几何意义 　　函数y=f（x）在x0点的导数f（x0）的几何意义：表示函数曲线在P0[x ?? 导数的几何意义 0，f（x0）] 点的切线斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）. 导数在科学上的应用 　　导数与物理，几何，代数关系密切.在几何中可求切线；在代数中可求瞬时变化率；在物理中可求速度，加速度. 　　导数亦名纪数、微商（微分中的概念），是由速度变化问题和曲线的切线问题（矢量速度的方向）而抽象出来的数学概念.又称变化率. 　　如一辆汽车在10小时内走了 600千米，它的平均速度是60千米/小时.但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60千米/小时.为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，设汽车所在位置s与时间t的关系为 　　s=f（t） 　　那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是 　　[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 　　当 t1与t0很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反映汽车在t0 到 t1这段时间内的运动变化情况 . 　　自然就把当t1→t0时的极限lim[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 作为汽车在时刻t0的瞬时速度，这就是通常所说的速度.这实际上是由平均速度类比到瞬时速度的过程 （如我们驾驶时的限“速” 指瞬时速度）. 编辑本段导数是微积分中的重要概念 　　导数另一个定义：当x=x0时，f(x0)是一个确定的数。这样，当x变化时，f(x)便是x的一个函数，我们称他为f(x)的导函数（derivative function），简称导数）. 　　 ?? y=f(x)的导数有时也记作y，即（如右图） ： 　　物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度（就匀速直线加速度运动为例 位移关于时间的一阶导数是瞬时速度 二阶导数是加速度）、可以表示曲线在一点的斜率（矢量速度的方向）、还可以表示经济学中的边际和弹性。 　　以上说的经典导数定义可以认为是反映局部欧氏空间的函数变化。 为了研究更一般的流形上的向量丛截面（比如切向量场）的变化，导数的概念被推广为所谓的“联络”。 有了联络，人们就可以研究大范围的几何问题，这是微分几何与物理中最重要的基础概念之一。 　　注意：1.f(x)0是f(x)为减函数的充分不必要条件，不是充要条件。 　　2.导数为零的点不一定是极值点。当函数为常值函数，没有增减性，即没有极值点。但导数为零。（导数为零的点称之为驻点，如果驻点两侧的导数的符号相反，则该点为极值点，否则为一般的驻点，如y=x^3中f‘(0)=0，x=0的左右导数符号为正，该点为一般驻点。） 编辑本段求导数的方法 　　(1)利用定义求函数y=f(x)在x0处导数的步骤： 　　① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0) 　　② 求平均变化率 ?? ③ 取极限，得导数。 　　(2)几种常见函数的导数公式： 　　① C=0(C为常数函数) 　　② (x^n)= nx^(n-1) (n∈Q*)；熟记1/X的导数 　　③ (sinx) = cosx 　　(cosx) = - sinx 　　(ta