线性代数与§5.6 .pptVIP

* 一、拉格朗日配方法的具体步骤 §5.6 配方法化二次型为标准形 　　用正交变换化二次型为标准形, 其特点是保持几何形状不变. 　　问题: 有没有其它方法, 也可以把二次型化为标准形? 　　问题的回答是肯定的. 下面介绍一种行之有效的方法——拉格朗日配方法. 　　1. 若二次型含有xi 的平方项, 则先把含有xi的乘积项集中, 然后配方, 再对其余的变量同样进行, 直到都配成平方项为止, 经过非退化线性变换, 就得到标准形; 拉格朗日配方法的步骤 　　2. 若二次型中不含有平方项, 但是aij?0 ( i ? j ), 则先作可逆线性变换: 化二次型为含有平方项的二次型, 然后再按1中方法配方. ( k ? i, j ). 例1: 化二次型 为标准形, 并求所用的线性变换矩阵. f =x12+2x22+5x32+2 x1x2+2 x1x3+6x2x3 f =x12+2x22+5x32+2 x1x2+2 x1x3+6x2x3 解: 用含有x1的项配方 含有平方项 =x12+2 x1x2+2 x1x3+2x22+5x32+6x2x3 =(x1+x2+x3)2–x22–x32–2x2x3+2x22+5x32+6x2x3 =(x1+x2+x3)2+x22+4x32+4x2x3 =(x1+x2+x3)2+(x2+2x3)2 令 所用变换矩阵为 f = x12+2x22+5x32+2 x1x2+2 x1x3+6x2x3 = y12+y22 解: 由于所给二次型中无平方项, f =2 x1x2+2 x1x3–6x2x3 例2: 化二次型 为标准形, 并求所用的线性变换矩阵. 所以 令 即 代入二次型 f =2 x1x2+2 x1x3–6x2x3, 得 f =2y12–2y22–4 y1 y3+8y2 y3 再配方, 得 f =2(y1- y3)2–2(y2–2y3)2+6 y32. 令 即 f =2z12–2z22+6 z32. 得 所用变换矩阵为 | C | =–2?0. 二、小结 　　将一个二次型化为标准形, 可以用正交变换法, 也可以用拉格朗日配方法, 或者其它方法, 这取决于问题的要求. 如果要求找出一个正交矩阵, 无疑应使用正交变换法; 如果只需要找出一个可逆的线性变换, 那么各种方法都可以使用. 正交变换法的好处是有固定的步骤, 可以按部就班一步一步地求解, 但计算量通常较大; 如果二次型中变量个数较少, 使用拉格朗日配方法反而比较简单. 需要注意的是, 使用不同的方法, 所得到的标准形可能不相同, 但标准形中含有的项数必定相同, 项数等于所给二次型的秩.