线性代数与实对称阵及(若当标准形,不做要求).do .pptVIP

为了求r(J - kE)t ，先考虑m阶Jordan块 N = = . 0 1 0 1 0 . . . . . . O Em-1 O O N1 = , N2 = Ni = , …, Nm-1 = Nt =O, t ≥m. O Em-1 O O O Em-2 O O ,…, O Em-i O O O E1 O O . 第五章 矩阵的特征值和特征向量 §5.4 矩阵的Jordan标准形 假设m阶矩阵 ?0 1 ?0 1 ?0 . . . . . . J0 = . 如果 k = ?0 , 则 r(J0 - kE)t = m-t, t ≤ m, 0, t ≥ m. 如果 k ≠ ?0 , 则对任意正整数t, 有 r(J0 - kE)t = m. 第五章 矩阵的特征值和特征向量 §5.4 矩阵的Jordan标准形 J1 J2 Js . . . 设 J = ，则 (J - kE)t = (J1 – kE )t (J2 –kE )t (Js-kE )t . . . Ji是ci阶若当块 c1 c2 cs 结合着上述分析，可得到r(J - kE)t . 第五章 矩阵的特征值和特征向量 §5.4 矩阵的Jordan标准形 例5.18 已知矩阵A的特征多项式|?E-A|= (?-1)2 (?-2)4, r(A-E)=5, r(A-2E)=4, r(A-2E)2=3, 给出A的Jordan标准形. 第一步 写出所有可能的Jordan形矩阵； 第二步 找出满足r(J-E)=5, r(J-2E)=4的Jordan形矩阵； 第三步 找出满足, r(J-2E)2=3的Jordan形矩阵； 第五章 矩阵的特征值和特征向量 §5.4 矩阵的Jordan标准形 例5.19 求矩阵A= 的Jordan 标准形. -1 -2 6 -1 0 3 -1 -1 4 Step 1 . 求出|?E-A|=(? -1)3; Step 2 . 写出所有可能的Jordan形矩阵； Step 3 . 计算r(A – 1·E); Step 4. 找出满足r(J – 1·E)= r(A – 1·E)的Jordan形矩阵； 第五章 矩阵的特征值和特征向量 §5.4 矩阵的Jordan标准形 例5.20 求矩阵A= 的Jordan 标准形. 13 16 16 -5 -7 -6 -6 -8 -7 Step 1 . 求出|?E-A|=(? +3)(? -1)2; Step 2 . 写出所有可能的Jordan形矩阵； Step 3 . 计算r(A – 1·E); Step 4. 找出满足r(J – 1·E)= r(A – 1·E)的Jordan形矩阵； 第五章 矩阵的特征值和特征向量 §5.4 矩阵的Jordan标准形 关于矩阵的最小多项式与Jordan标准形的关系，有下面的定理. 定理5.11 假设矩阵A的最小多项式是m(?)= ?(? - ?i) ti , 则ti是A的Jordan标准形 中 以 ?i为主对角元素的Jordan块的最高阶数. i=1 s 注： A的Jordan标准形可以唯一决定A的最小多项式；反之不成立. 第五章 矩阵的特征值和特征向量 §5.4 矩阵的Jordan标准形 0 0 0 2 0 0 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 3 2 0 0 0 0 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 第五章 矩阵的特征值和特征向量 §5.4 矩阵的Jordan标准形 m(x)=(x-3)(x-2) m(x)=x2