线性代数与§5.7 .pptVIP

* §5.7 正定二次型 一、惯性定理 　　一个实二次型, 既可以通过正交变换化为标准形,也可以通过拉格朗日配方法化为标准形, 显然, 其标准形一般来说是不唯一的, 但标准形中所含有的项数是确定的, 项数等于二次型的秩. 下面我们限定所用的变换为实变换, 来研究二次型的标准形所具有的性质. 使 f = k1y12+k2y22+···+kryr2 (ki ? 0), 及 f = ?1z12+?2z22+···+?rzr2 (?i ? 0). 定理9(惯性定理): 设有实二次型 f = xTAx, 它的秩为r , 有两个实的可逆变换: 则k1, k2, ···, kr与?1, ?2, ···, ?r中正数的个数相等. x=Cy, 及 x=Pz, 在二次型的标准型中, 正系数的个数称为该二次型的正惯性指数, 负系数的个数称为该二次型的负惯性指数. 如果二次型的秩为r, 正惯性指数为p, 则它的规范型为: f(x1, x2, ···, xn) = y12+ ··· +yp2 – yp+12 – ··· – yr2, 我们经常对正惯性指数为n或负惯性指数为n的n元实二次型进行研究. 二、正(负)定二次型的概念 定义: 设有实二次型 f(x)=xTAx, 显然 f(0)=0. 如果对任意的 x ? 0, 都有 f(x)0, 则称 f 为正定二次型, 并称对称矩阵A为正定矩阵; 如果对任意的 x ? 0, 都有 f(x)0, 则称 f 为负定二次型, 并称对称矩阵A为负定矩阵. 例如: f = x2 + 4y2 + 16z2 为正定二次型; f = –x12 –3x22 为负定二次型. 三、正(负)定二次型的判别 证明: 设可逆变换 x=Cy 使 定理10: 实二次型 f(x) = xTAx 为正定的充分必要条件是它的标准形的n个系数全为正, 也就是说它的正惯性指数为n. 必要性: 假设有ks ? 0, 则当 y=es (单位坐标向量)时, 显然, x = Ces ? 0, 这与 f 为正定的矛盾. 故 ki 0 ( i = 1, 2, ···, n). 故 充分性: 设ki 0 ( i = 1, 2, ···, n), 对任意的 x ? 0, 则 y = C-1x ? 0, 推论: 对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的特征值全为正. 定理11(霍尔维茨定理): (1)对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的各阶(顺序)主子式为正, 即 (2)对称矩阵A为负定的充分必要条件是A的奇数阶(顺序)主子式为负, 而偶数阶(顺序)主子式为正, 即 正定矩阵具有以下一些简单性质: 1. 若A为正定的, 则AT, A-1, A*均为正定矩阵. 2.若A, B均为n阶正定矩阵, 则A+B也是正定矩阵. 例1: 判别二次型 是否正定. f(x1, x2, x3)=5x12+x22+5x32+4 x1x2–8 x1x3–4x2x3 解: f(x1, x2, x3)的矩阵为 它的各阶主子式: 故矩阵A为正定的, 因此上述二次型是正定的. f(x1, x2, x3)=–5x12–6x22–4x32+4x1x2+4x1x3 例3: 判别二次型 是否正定. 解: f(x1, x2, x3)的矩阵为 故矩阵A为负定的, 因此上述二次型是负定的. 正定二次型 f(x) = xTAx的几何解释: 当x为2维向量时, 方程 f(x)=c (c0)表示一族椭圆;当x为3维向量时, 方程 f(x)=c (c0)表示一族椭球面. 正(负)定二次型 f(x) = xTAx的函数极值解释: 函数 u = f(x), 正定时有极小值, 负定时有极大值, 其极值均为0.