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第四节 矩阵分解 一 矩阵的LU分解 上页 返回 第三章 第四节 下页 消元法的实质是对增广矩阵作初等行交换,而初等变换是可以用矩阵运算来描述的.消元过程相当于下述矩阵乘法运算。 因此，由分块矩阵乘法可得 令 可得 可见只要消元过程能进行到底，就有以下等价关系 消元过程相当于分解 A为单位下三角阵L与上三角阵U的乘积，解方程组Ly=b，回代过程就是解方程组Ux=y。其中 的L为n阶单位下三角阵、U为上三角阵. 定理1 若矩阵A非奇异，则A能分解为LU 的充分必要条件是A的顺序主子式不为0，即 定理2 若非奇异矩阵A有LU分解,则此分解是唯一的。 二 LU 分解的计算公式 比较式 A=LU 两端的元素, 按下图所示顺序逐框进行,先求 ukj 后求 lik . 由第一框可得 a11 a12 ? a1k ? a1n u11 u12 ? u1k ? u1n 第1框 a21 a22 ? a2k ? a2n l21 u22 ? u2k ? u2n 第2框 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ak1 ak2 ? akk ? akn lk1 lk2 ? ukk ? ukn 第k框 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? an1 an2 ? ank ? ann ln1 ln2 ? lnk ? unn 第n框 ? 得 假设前k -1框元素已求出，则由 有了矩阵 A 的LU分解计算公式 , 解线性方程组 Ax=b 就转化为依次解下三角方程组 Ly=b 与上三角方程组 Ux=y 其计算公式如下： ? Ly=b ? Ux=y 解 用紧凑格式 例2 求矩阵 的LU分解。 u11=2 u12=1 u13=4 所以 u11=2 u12=1 u13=4 例 3 将矩阵A 进行LU 分解 解 所以 当矩阵 A 对称且 其顺序主子式均不为0时由定理2可知其LU分解必存在。且 三 LDLT (Cholesky) 分解法 于是 A=LU=LDM. 又据A的对称性有 其中 M T 为单位下三角阵, DLT 为上三角阵, 因此上式也是A的 LU 分解.由 LU 分解的唯一性可知, 应有 定理3 设矩阵 A 对称且各阶顺序主子式均不为0时，则必存在单位下三角阵 L 及对角阵D , 使 A=LDLT 上式称为对称矩阵的 LDLT 分解. 同 A 的 LU 分解过程, 可得LDLT分解的计算公式为 此时, 解方程组 Ax=b 等价于解LDLTx=b，而后者可转化为依次解两个三角形方程组 Ly=b , LTx=D-1y，其计算公式如下 这种解方程组的方法称为乔累斯基分解法或 LDLT 分解法。 四 平方根法（LLT 分解法） 当矩阵 A 对称正定时, 其顺序主子式均大于0, 可知其 LDLT 分解存在，且