第十一讲与 习题课 2 .ppt

第二章 随机变量及其分布习题课（1） 一、重点与难点 二、主要内容 随机变量 离散型随机变量的概率函数 两点分布 二项分布 泊松分布 随机变量的分布函数 连续型随机变量的概率密度 均匀分布 指数分布 正态分布(或高斯分布) 随机变量函数的分布 第二章 随机变量及其分布习题课（2） 一、主要内容 二维随机变量 联合概率函数（离散） 联合概率密度（连续） 联合分布函数 边缘分布 边缘分布函数 X与Y相互独立 随机变量函数的分布 二、例题分析 二、例题分析 设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x，y，二元函数 F(x,y)=P(X≤x,Y≤y) 称为(X,Y)的分布函数，或称为X和Y的联合分布函数。 返回 二维随机变量（X,Y） X和Y的联合分布函数 X的分布函数 一维随机变量X (X,Y)关于X的边缘概率函数: (X,Y)关于Y的边缘概率函数: P(Y＝yj) ＝∑pij i P(X＝xi) ＝∑P(X＝xi ,Y＝yj) j ＝∑pij j ＝pi ＝p j 边缘概率函数（离散） 边缘密度（连续） (X,Y)关于X的边缘密度: (X,Y)关于Y的边缘密度: 返回 (X,Y)关于X的边缘分布函数: (X,Y)关于Y的边缘分布函数: ＝P(X≤x) ＝P(X≤x,Y＜∞) ＝F(x,∞) FX(x) ＝P(Y≤y) ＝P(X＜∞,Y ≤y) ＝F(∞, y) FY(y) 联合分布 边缘分布 说明 （1）若 (X, Y)是离散型随机变量 ，则 X, Y 相互独立 X, Y 相互独立 （2）若 (X, Y)是连续型随机变量 ，则 （3）X, Y 相互独立，则f(X)和g(Y)也相互独立. 返回 (1)离散型随机变量函数的分布 (2)连续型随机变量函数的分布 当 X, Y 独立时, 设(X,Y)的联合密度为 f (x,y)，则Z=X+Y 的密度为 返回 则有 例1 在一箱子中装有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种试验(1)放回抽样；(2)不放回抽样.我们定义随机变量X，Y如下： X＝ Y＝ 试分别就(1)、(2)两种情况,写出X和Y的联合分布律、边缘分布律，并判断X与Y是否独立. 0，若第一次取出的是正品， 1，若第一次取出的是次品； 0，若第二次取出的是正品， 1，若第二次取出的是次品. 解: (1) 放回抽样 (X,Y)的联合分布为 Y X 解: (1) 放回抽样 (X,Y)的边缘分布为 PX PY Y X 解: (1) 放回抽样 PX PY Y X 所以，放回抽样时X与Y相互独立。 解: (2) 不放回抽样 (X,Y)的联合分布为 Y X 解: (2) 不放回抽样 (X,Y)的边缘分布为 PX PY Y X 解: (2) 不放回抽样 PX PY Y X 所以，不放回抽样时X与Y不相互独立。 例2 解 ? ? P 1/12 1/4 1/8 1/120 1/6 1/4 1/20 0 1/24 1/40 0 0 (X,Y) (0,0) (0,1) (0,2) (0,3) (1,0) (1,1) (1,2) (1,3) (2,0) (2,1) (2,2) (2,3) W1=X+Y 0 1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 5 所以W1的概率分布为 0 1 2 3 1/12 5/12 5/12 1/12 (2) W1 P W2＝XY的所有可能值为 0, 1, 2, 3, 4, 6 W3＝max(X,Y)的所有 可能值为 0, 1, 2, 3 0 1 2 3 W3 P (3) 解 例3 2 4 2 4 解 例4 于是 (X,Y)关于X 的边缘概率密度为 (2)性质 1 连续随机变量 的概率密度与 分布函数均能 完整的反应其 统计规律，两 个都经常用到. 返回 若 X的概率密度为： 则称X服从区间( a, b)上的均匀分布，记作： X ～ U(a, b) 返回 则称 X 服从参数为 的指数分布. 若 X具有概率密度 常简记为 X~ e( ) . 返回 若X的概率密度为 记作 其中 和 都是常数， 任意， 0， 则称X服从参数为 和 的正态分布. 返回 (1)离散型随机变量函数的分布 X的概率分布为： 则 Y＝g(X) 的分布律为： (2)连续型随机变量的函数的分布 已知连续型随机变量X的概率