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第二节 换元积分法 小结 解 二、第二类换元法 例8. 求 例9. 求 例3 求 解 当 x a 时, 设 x = a sect, 作辅助三角形, 见图, 其中 C = C1 - lna. a x t 当 x - a 时, 同样可得 综合起来有 三角代换的一般规律如下：当被积函数中若含有 可令 可令 可令 当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令 （其中n为各 根指数的最小公倍数） 当被积函数含有根式时 , 可将根式整体代换 从而化去根式（根式代换）. 2. 根式代换 注： 例4 求 解 设 则有 例5 求 解 设 则有 例6 求 解 设 则有 例7 求 解 令 解: 令 得 原式 注：分母中因子次数较高时, 可试用倒代换 。 第二类换元积分练习题 上面的许多例题中, 有些积分可作为公式来用, 现归纳如下： 二、第二类换元法 一、第一类换元法 问题 解决方法 利用复合函数求导的逆运算，设置中间变量. 过程 令 说明结果正确 如果要求的积分具有下述特征: 可设 u = ? (x), 于是 如果 f (u)连续, 且 ? (x) 连续可导, 则 上述方法具有一般性： 则上式变为 定理1 可导, 则有换元公式 设 f (u)具有原函数 F (u), u = ? (x) 连续 如何应用上述公式来求不定积分? 则使用此公式的关键在于将 化为 的形式， 假设要求 所以，第一类换元积分法也称为凑微分法. 例1 求 解 u = 2x + 1, du=d(2x + 1) = 2dx, 则 想到公式 注意换回原变量 例2 求 解： 则 想到公式 这种换元法又称为凑微分法或配元法, 即引进一个新变量以代替原来的变量, 对于变量代换熟练以后, 可以不写出中间变量 u. 例3 求 一般地, 有 例4 求 类似 例5 求 一般地, 有 例6 求 解 说明: 当被积函数是三角函数(如正弦函数和余弦函数)相乘时，拆开奇次项去凑微分. 例7 求 例8 求 一般地, 有 例9 求 一般地, 有 第一类换元法在积分学中是经常使用的，不过如何适当地选择变量代换，却没有一般的法则可循．这种方法的特点是凑微分，要掌握这种方法，需要熟记一些函数的微分公式，例如 , 等等，并善于根据这些微分公式，从被积表达式中拼凑出合适的微分因子． 例10 求 例11 求 例12 求 例13 求 积分常用技巧: (1) 分项积分: (2) 降低幂次: (3) 统一函数: 利用三角公式 ; 凑微分法（陪元方法） (4) 巧妙换元或配元。 利用积化和差; 分式分项等; 利用倍角公式 , 如 例14 求 例15 求 类似可得 例16. 求 作业 P155 1 (1)--(18) 第一类换元法解决的问题 难求 易求 若所求积分 易求, 则得第二类换元积分法 . 难求， 定理2 . 设 是单调可导函数 , 且 具有原函数 , 则有换元公式 第二类换元法可以称为“去根号运动”，主要是用于处理带根号，且不能用凑微分求解的情况。主要技巧为： 1. 三角代换 2. 根式代换 常用三角恒等式 3. 倒代换 例1 求 解 设 x = a sint, 1. 三角代换 由于 x = a sint, 例2 求 解 设 x = a tant, 为了求 sect, 利用 作辅助三角形, 见图, 其中 C = C1 - lna. a x t