笛沙格透与视定理2013 .pptVIP

Desargues透视定理 一、Desargues透视定理 1、两个三点形之间的对应 若两个三点形对应顶点的连线共点，则称这对对应三点形具有透视中心，透视中心也称为Desargues 点。 若两个三点形对应边的交点共线， 则称这对对应三点形具有透视轴，透视轴也称为Desargues 线。 2、Desargues透视定理 Desargues透视定理 定理 (Desargues透视定理及其逆) 对于两个对应三点形，存在Desargues点 ? 存在Desargues线。 迪沙格定理 如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应边的交点共线。 迪沙格定理的逆定理 如果两个三线形的对应边的交点共线，则对应顶点的连线交于一点。 或者叙述如下： 证明. 只需证明迪沙格定理。 设这两个三点形分别是 ABC 和 ABC，令 AA、BB、CC 三线的交点是 O。 下面分两种情况证明： （1）三点形 ABC 和 ABC 不共面 （2）三点形 ABC 和 ABC 共面 Desargues透视定理 （1）设 ABC 和 ABC 不共面 因 BB 与 CC 交于 O，所以 B,B,C,C 四点共面，于是 BC 与 BC 交于一点，设为 P。同理可设 AC 与 AC 交于 Q，AB 与 AB 交于 R。 Desargues透视定理 在这种情况下，设这两个三点形所在的平面分别是 p 和 p ，则因 P 在 BC 直线上，所以 P∈p 。 又因 P 在 BC 直线上，所以 P∈p 。因此 P∈p∩p 。 同理可证 Q, R∈p∩p ，故 P, Q, R 共线。 如图，设这个平面是 p。此时，过 O 作一条异面直线 l ，然后在 l 上任取两点 S 和 S 。 另一方面，三点形 SBC 和 SBC 对应顶点连线交于一点 O ，由（1）可知它们对应边的交点共线。 考虑三点形 SBC 和 SBC ，则这两个三点形异面（否则，如果它们共面，则这个平面必须是 p，于是 S, S 就在 p 上，这与 l 为异面直线矛盾）。 Desargues透视定理 （2）三点形 ABC 和 ABC 共面 设 A = AS×AS ，B = BS×BS ，C = CS×CS ，则 B, C, P 共线。 另一方面，这两个三点形不共面（否则，BC 在 p 上，从而三点形 SBC 也在 p 上。同理 SBC 也在 p 上，这与 SBC 和 SBC 异面矛盾），因此由（1）可知对应边的交点共线，即 P, Q, R 共线。 再考虑三点形 ABC 和 ABC ，则它们对应顶点的连线交于一点 S 。 同理可知 A, C, Q 共线，A, B, R 共线。 Desargues透视定理 注1 仅用综合法，Desargues定理不可能在平面上获得证明，只能作为公理。 注2 Desargues定理与其逆定理实际是一对对偶命题。 注3 满足Desargues定理的一对三点形称为透视的三点形。 Desargues透视定理 二、应用举例 1、证明共点与共线问题 分析 因为 R 是动点，作 R 的另一个位置 R， 得到 P, Q，设 PQ, PQ 交于 C。只要证明 A, B, C 三点共线。 由 OX, OY, OZ 共点于 O，只要找到一对对应三点形，其三对对应顶点分别在 OX, OY, OZ 上，且三双对应边交点恰为 A, B, C 即可。 如图，PQR?PQR正是所需。 例1 设 OX, OY, OZ 为三条定直线， A, B 为定点，R 为 OZ 上的动点，直线 RA, RB 分别与 OX, OY 交于 P, Q。求证：PQ 经过 AB 上的一个定点。 Desargues透视定理 例2 设 AD, BE, CF 分别为三角形 ABC 的 BC, CA, AB 边上的高（或者中线），X = BC×EF ，Y = CA×FD ，Z = AB×DE ，证明 X, Y, Z 共线。 证明. 如图，考虑三点形 ABC 和 DEF ，运用迪沙格定理即可。 Desargues透视定理 例3 设三点形 ABC 与 ABC 是透视的，即对应顶点的连线交于一点，令L = BC×BC ，M = CA×CA ，N = AB×AB ，求证 （1）三直线 BC, BC, MN 共点； （2）三点形 ABC 、ABC 与 LMN 两两透视。 Desargues透视定理 证明. （1）如上图：考虑 BCA 与 BCA，对应顶点连线共点 O，所以对应边的交点 P, M, N 共线。 Desargues透视定理 （2）由（1）可知 BC, BC, MN 交于 P 点。同理可知 CA, CA, NL 交于 Q 点，AB, A