离散数学与 Algebraic structure .ppt

* 零因子环 定义: A,+,?是一个环,若?a,b?A,a?0,b?0,但a?b=0成立,称A,+,?是零因子环,a,b称为零因子,无零因子的环称为无零因子环。(无零因子： ?a,b?A,a?0,b?0,则必有a·b ?0) 说明：0仅表示零因子 例:An , + , ?是零因子环,An是n?n方阵。 * 无零因子环的性质 定理5-9.2: 环A,+,?是无零因子环,当且仅当A,?满足可约律。 证明:?a,b,c?A ,a?0,b?0. 必要性:设R,+,?无零因子,若ab=ac， ?ab-ac=?, a(b-c)=? 因为R,+,?无零因子. ?b-c=? ?b=c。 充分性:设A,?满足可约律,设?a?A a?? ，ab=?， 则 a?b=a??，由可约律 b=? ?无零因子。 ?A,+,?是无零因子环。 * 整环 定义5-9.2: 给定环R,+,?,若R,?是可交换的,称R,+,?为交换环。 给定环R,+,?,若R,?含幺元,称R,+,?为含幺环。 定义5-9.3: 给定环R,+,?,若R,?是可交换的、含幺元、无零因子,则称R,+,?为整环。 例. 1)I,+,?是整环。 2)N4,+4,?4不是整环。 * 域 定义5-9.4:若代数系统F,+,?具有 1)|A|1，2)A,+,A-{0},?均是阿贝尔群，3)乘法对加法可分配，则称它是域。 例如： 1)I为整数集，I,+,?不是域， 2)Q,+,?是一个域,其中Q为有理数集合。 R,+,?是一个域，其中R为实数集合。 C,+,?是一个域，其中C为复数集合。 * 实例 证明：Nk={0,1,?,k-1},Nk,+k,?k是个域,当且仅当k是质数. 证明:必要性:（反证法） 设Nk,+k,?k是个域,若k不是质数 i)k=1,则|N1|=1不是域 ii)k=ab,则a?kb=0,a,b是零因子,故 Nk,+k,?k不是域矛盾。 充分性:若k为质数,须证Nk,+k,?k是个域。 i)Nk,+k是个阿贝尔群， ii)证明Nk-{0},?k是阿贝尔群， a)?a,b?Nk-{0}?a?kb?Nk-{0}，?Nk-{0}对?k封闭。 b) Nk-{0},?k结合律满足 。 c) Nk-{0},?k么元为1。 d)?a?Nk-{0}，证明a存在逆元， * 续: 首先证明: 若b,c?Nk-{0},b?c则a?kb?a?kc。 （反证法:）若a?kb=a?kc,不妨设bc， 则: ab=nk+r,ac=mk+r?a(b-c)=(n-m)k。 k为质数,不能被分解成两个数的乘积,故等式左边至少有一个数是 k的倍数,而这是不可能的，因此 ，a?k1,?,a?k(k-1)此k-1个数均不 相同,其中必有一个为1。 所以 ?a?Nk-{0},?b?Nk-{0} 使a?kb=1 ， ? ?a?Nk-{0}，a存在 逆元。 ? Nk-{0},?k是阿贝尔群， Nk,+k,?k是个域 ， 证毕。 说明： Nk,+k,?k称为模k整数域。 * 域与整环 定理5-9.3：域一定是整环。 证明：设A,+,?是任一域。 对于?a,b,c?A且a??, 如果有a ? b=a ? c,（1是乘法幺元）则 b=1 ?b=(a -1? a) ? b=a-1 ?(a ? b)=a-1 ?(a ? c) =(a-1 ?a) ?c=1 ?c=c 因此， A,+,?是一个整环。 定理5-9.4：有限整环必是域 证明:设A,+,?是有限整环 ,?a,b,c?A且c??(证明c逆存在). 若a?b，由无零因子推出的可约律,则a?c?b?c， 因为A为有限集,由运算封闭性 ?设A -{?} ={a1,?,an}，则A -{?} ={ca1,?,can}=c(A -{?} )。 ??c?A,?d有a?d=e ? c逆元存在为d 。 ?A-{?},?是阿贝尔群。 因为有限整环满足分配律，? A,+,?是域。 * 环、整环、域的关系 无零因子环 环 含么环 域 有限整环 整环 交换环 * 环的同态 定义5-9.5: 设R,+,?，S,?,⊙是环,