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控制系统的稳定性分析 * * 2011年 5月16日 Lyapunov稳定性定义 系统状态的运动及平衡状态 稳定性的定义 Lyapunov第一法 Lyapunov第二法 第三章 控制系统的稳定性分析 对非线性系统： 一般有多个平衡点 §1 系统稳定性概述 一、稳定性的基本概念 1. 平衡状态： 设 为方程的解，如果存在 ，对所有的t使得 成立，称状态 为上述系统的平衡状态。 对 ①若A非奇异， 唯一的平衡点 （线性定常系统） ②若A奇异， 平衡点,非唯一 有 则称 是Lyapunov意义下的稳定。 如果系统的初始状态在 内，任意时刻状态 都在 内，即 2. 稳定的概念 以平衡点 为球心，取 和 为半径，在n维状态空间作出两个球域 ：任意取的正数（可以任意小） ：是 取定后看能否找到的 （1）Lyapunov意义下的稳定 其中 一般应与 有关。 如 与 无关，称为是 一致稳定。定常系统是一致稳定的。 若 且 与 无关，则为全局一致渐近稳定。 若 ，则为全局渐近稳定。不管初始值偏离平衡点多大， （状态空间中任意点）都具有渐近稳定特性。状态空间中 只能有一个平衡点。 不仅具有Lyapunov意义下的稳定，并且 则 为渐近稳定。 若 与 无关，则为一致渐近稳定。定常系统是一致渐近稳定。 （2）渐近稳定 线性系统若是渐近稳定，必为全局渐近稳定。 非线性系统一般只能是小范围渐近稳定。 （3）不稳定 则平衡点 是不稳定的。 无论 取得多小，从球域 出发的运动轨迹 都会越出球域 ， 单摆是渐近稳定的例子。 从上述定义看出，球域 限制着初始状态 的取值，球域 规定了系统自由响应 的边界。如果 为有界，则称 稳定。如果 不仅有界而且有 ，收敛于原点，则称 渐近稳定。 §2 Lyapunov第一法 基本思路是通过系统状态方程的解来判别系统的稳定性。 1.对于线性定常系统，只需解出特征方程的根即可作出稳定判断。 2.对于非线性不很严重的系统，则可以通过线性化处理，然后再根据其特征根来判断系统的稳定性。 2.1 线性系统的稳定判据 线性定常系统 ，平衡状态 渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部。 如果系统对于有界输入u所引起的输出y是有界的，则称系统为输出稳定。 线性定常系统 , 输出稳定的充要条件是其传递函数: 的极点全部位于s的左半平面。 例题4-1 设系统的状态方程为 解 （1）有A阵的特征方程： 系统的状态不是渐近稳定的。 （2） 由系统的传递函数 传递函数s=-1位于s的左半平面，故系统输出稳定。 2.2 非线性系统的稳定性 设系统的状态方程为 ，平衡状态 ； 为与x同维的矢量函数，且对x具有联系的偏导数。 为讨论系统在 处的稳定性，可以将非线性矢量函数 在 领域内展开成泰勒级数，有： 在线性化的基础上， 1）如果系数矩阵A的所有特征值都具有负实部，则原非线性系统在平衡状态 是渐近稳定的，而与R(x)无关。 2）如果A的特征值至少有一个具有正实部，在原非线性系统的平衡状态 是不稳定的。 3) 如果A的特征值至少有一个的实部为零。系统处于临界情况，原非线性系统的平衡位置 的稳定性不能由A的特征值符号来确定，将取决于高价导数项R(x) 例4-2 设系统状态方程为： §2 Lyapunov第二法 Lyapunov第二法（间接法）。基本思路是从能量的观点进行稳定性分析，如果一个系统被激励后，其储存的能量随着时间的推移而