数学物理与方法22 .pptVIP

第九章 常微分方程的级数解法 贝塞尔方程的解： v为非整数时： v为整数时： v为非整数的虚宗量贝塞尔方程： 第九章 常微分方程的级数解法 $9.4 施图姆-刘维尔本征值问题 微分方程： 一般解： 再附加边界条件：第一类、第二类、第三类、自然…… 第九章 常微分方程的级数解法 示例： 弦的横振动波动方程： 勒让德方程： 连带勒让德方程： 第九章 常微分方程的级数解法 贝塞尔方程： 第九章 常微分方程的级数解法 物理模型中遇到的本征值问题化为施图姆-刘维尔标准型后， 一般具有以下特征： 1） 是积分权重函数。 2） 均非负。 第九章 常微分方程的级数解法 施图姆-刘维尔本征方程具有以下一般性质： 1）具有无穷多个本征值和本征函数。沿本征值增加的排列 顺序本征函数的节点数依次增加。 2）所有本征值均大于零。 第九章 常微分方程的级数解法 3）其本征函数之间（带权重）正交。 4）其本征函数族是完备的。 第九章 常微分方程的级数解法 广义傅里叶级数： 一套本征函数族构成了一套傅里叶级数的基函数。 任意函数f(x)可以按照{yi(x)}展开： 其展开系数为： 第九章 常微分方程的级数解法 如果将基函数归一化以后，其展开系数为： 第十章 球函数 球函数方程： 球函数： 其中 是连带勒让德方程的解： 第十章 球函数 $10.1 轴对称球函数 在轴对称情形下，m=0， 为勒让德方程的解： 第十章 球函数 由于在 （ ）处物理上要求有限（自然边界条 件），勒让德方程的级数解在l为整数时退化为多项式解。 递推公式： 习惯取最高项系数： 完整表达式： 第十章 球函数 常用的几个勒让德多项式： …… 第十章 球函数 第十章 球函数 勒让德多项式的常见性质： 1）l为偶数时为偶函数，l为奇数时为奇函数。 2） 3） 4）l阶的勒让德多项式在[-1,1]有l个节点（零点）。 第十章 球函数 勒让德多项式的微分表示(Rodrigues公式)： 第十章 球函数 勒让德多项式的正交关系： 或： 第十章 球函数 勒让德多项式的模： 如果要归一化勒让德多项式，应该取 第十章 球函数 广义傅里叶级数：勒让德多项式是一套完备基，定义在[-1,1] 或者[0，?]上的函数都可以依此展开： 其中： 第十章 球函数 例：将 按勒让德多项式展开。 解： 1） 是奇函数，因此展开项里只有奇次项。 2） 最高项为3次，因此展开式只有l=1、3两项。 3） 第十章 球函数 另外也可以这么做： 因为 ，因此 ， 第十章 球函数 例：将 按勒让德多项式展开。 解： 1） 是偶函数，因此展开项里只有偶次项。 2） （以下略） 第十章 球函数 习题：1.1(p296)