数学物理与方法6-2 .pptVIP

于是，有 (6-3-11) (6-3-12) 由 (6-3-4) 可推出 从而 (6-3-13) (6-3-14) 方程 (6-3-14) 根据 (β–u) 的正负又可分为： (i) 时，令 ，则有 (6-3-15) (6-3-16) 进一步令 ，则由 (6-3-15) 与 (6-3-16) 分别得到 ——贝塞尔方程 (6-3-17) ——虚宗量贝塞尔方程 (6-3-18) (ii) 时，令 ，则有 亥姆霍兹方程可分离为三个常微分方程： 说明：在分离变量的过程中引入的参数μ,ν2 等要由边 界条件来确定。 解：由于带电体是圆柱体，应采用柱坐标。但圆柱是“无限长”的，可以认为电势 u (ρ,φ, z) 与 z 无关，电势可用 u (ρ,φ) 表示。这样，三维空间的定解问题就简化为二维空间的定解问题。 由于圆柱导体接地，故圆柱内部电势为零；圆柱外部没有自由电荷分布，电势遵守拉普拉斯方程。均匀电 3. 圆形域上的定解问题 半径为 b 的“无限长”圆柱形接地导体，放置在均匀外电场 E0 中，圆柱的轴线与 E0 方向垂直，求电势分布。为作图方便起见，图 6.2 画的是“有限长” 的柱体。 图6.2 场 E0 的存在，使得无限远处的电势为 –E0ρcosφ柱面上的 感应电荷在无限远处激发的电势为零。此外，因为 (ρ,φ) 及 (ρ,φ+2π) 是空间中同一点，电势有确定的数值，这 导致周期性条件。由此得定解问题为 (6-3-19) (6-3-20) (6-3-21) (6-3-22) 1. 分离变量 由于u与z无关，故令 (6-3-23) 代入方程 (6-3-19) 得 其中ν2 为常数，由此得两常微分方程 (6-3-24) (6-3-25) 2. 求解本征值问题 将式 (6-3-23) 代入周期性条件式 (6-2-20) 得 F(ρ) = 0 为平庸解，不合题意，由此得 (2) 若ν2 0，方程的通解为 代入式(6-3-26) 得到 式 (6-3-25) 与式 (6-2-26) 构成本征值问题。 (6-3-26) (1) 若ν＝ 0，方程的通解为Φ(φ)=B0φ + A0，代入式(6-3-26) 得 由此得 B0 = 0，故 Φ(φ) = A0 。 显然，仅当ν取整数时上式才成立，即ν=n=±1,±2,…。又因 n 取正整数及 n 取负整数时，方程 (6-3-24) 的解是线性相关的，故只要取ν=n=±1,±2,…。 (3) 若 ν2 0，令 ν2 = – σ2 (σ 为实数)，方程的通解为 Φ(φ) = Aeσφ + B e –σφ 。 因为指数函数(当指数为实数)不是周期函数，它不 可能满足周期性条件(6-2-26) ，故ν2 不能取负值。 综上所述，这个本征值问题的本征值为 (6-3-27) 相应的本征函数为 (6-3-28) * 6.2 曲线坐标系中的分离变量法 选择坐标系的重要性： 通过弦的振动问题，说明了在直角坐标系下分离变量 法的基本步骤。了解到不仅对于方程本身，而且对于边界条件都要进行变量的分离。 (2) 能否用分离变量法，除了与方程的形式有关外，还与 用什么坐标系有关，而坐标系的选择则是根据边界的 形状或者对称性决定的。例：柱形区域——柱坐标。 用直角坐标不能将边界条件中的变量分离。 (3) 三种类型的数理方程都含有拉普拉斯算符。 在不同 的坐标系中形式不同。 补充： 正交曲线坐标系中的矢量微分公式 复习：球坐标系和柱坐标系中的梯度、散度、拉普拉斯 算符的计算公式。 一 基本概念 在直角坐标系中，空间中的一个点的位置由三个坐标(x1,x2,x3) 即 (x,y,z) 来表示。 在正交曲线坐标系中，空间中一点的位置由三个坐标 (q1,q2,q3) 来表示；对于球坐标，用 (R,θ,φ) 表示；对于柱 坐标，用 (ρ,φ, z) 表示。 图A 1.5(a) 1. 直角坐标 xi (i=1,2,3) 与正交曲线坐标 qi (α=1,2,3)的关 系可由图 A1.5 求得。 (1) 球坐标与