数学物理与方程--- 3 Bessel 函3数 .pptVIP

* A、B为任意常数， n为任意实数 性质1 有界性 性质2 奇偶性 三 贝塞尔函数的性质 当n为正整数时 性质3 递推性 例1 求下列微积分 性质4 初值 性质5 零点 有无穷多个对称分布的零点 和 的零点相间分布 的零点趋于周期分布， 性质6 半奇数阶的贝塞尔函数 性质7 大宗量近似 性质8 正交性 贝塞尔函数 的模 例2：证明 的解为 四、 Bessel方程的特征值问题 前面我们遇到的特征值问题，都是二阶线性微分算子 ，带有不同边界条件下的特征值问题。而 ，相当于二阶线性微分算子 在一维的情形，当空间变量为 二维时，在直角坐标系下， .在极坐标下，直接计算 可得 二阶线性微分算子 在圆域上的特征值问题即为 边界条件为 Direclet边界条件，或者 Newumann边界条件. 下面利用分离变量法求解（1）. 令 ，并将其带入到（1），有 变形为 即 故有 对（2），有定理 定理 对（2），其特征值和特征函数为 将 代入到（3）中，得到 方程（4）结合一定边界条件便是Bessel方程特征值问题。 考虑Direclet边界条件下n阶Bessel方程特征值问题 其中 是一个正常数，n为非负数， 为待定常数，称为（5） 的特征值，而相应于 的非零解称为（5）的特征函数。 对于Bessel方程特征值问题（5），有如下定理 定理1 设n为非负整数， 为 的第m个正 零点，即 的正根， 则（5）的特征值和特征函数分 别为 特征函数系 关于权函数 是正交的，且有 其中 证明 1.证明特征值非负。 两边积分 由已知 ，可得 即 所以可得 . 2.求解特征值问题。 当n=0， 时，方程 化为 其解为 利用边界条件 可得 ，即 ，因此 不是特征值， 即一切特征值都大于0. 当 时，对原方程 作自变量变换 ，方程化为 记 则有 n阶Bessel方程的通解为 即 所以 由 ，可得 。又由 得 又 ，所以 为 的正零点。故有 代入 并略去常数 得 特征值 特征函数 3.证明特征函数系 关于权系数 的正交性。 设 ，则 分别满足如下方程 和 有 或 积分，得 即 关于权系数的正交性。 4.求 关于权系数 的平方模。 记 .并取 使得 。令 则有 和 （7）和（8）第一式分别具有下面的形式 和 同前 相减有 即 积分有 有 令 则有 得证。 定理 设 在区间 连续且有分段连续的一阶导 数，则在区间 上， 可按 展成如下的Fourier-Bessel级数 其中， 例3：将1在 区间内展成 的级数形式 例4：将x在0x2区间内展成 的级数形式 例5：将 在0x1区间内展成 的级数形式 第三节 多个自变量分离变量例子 例3.12 设圆柱体为 ，若其边界温度为0， 初始温度为 ，且 只与 求圆柱体内的温度分布 . 有关且有界 解 记 ，则u满足以下定解问题 由于初始条件只与 有关，边界条件为齐次边界条件， 故可推知 ,圆柱体内以z轴为中心的圆柱面上温度相同，即u只与 和t有关，而与z和 无关，故有 对定解问题（3.3.9）---(3.3.11),做自变量变换 并注意到u与 无关，直接计算可得 下面利用分离变量法求解问题（3.3.12）--- (3.3.14)。令 并代入到（3.3.12）中得 由此得 由该问题的物理意义可知函数u有界，从而|u(0,t)|有界。 由此可推出R应满足自然边界条件 结合边界条件（3.3.13）可得定解问题（3.3.12）-------（3.3.14）的特征值问题为 结合边界条件（3.3.16）是贝塞尔函数特征值问题（3.3.14） 中n=0, 的特殊情形。由定理3.3可得 将 代入到 中并求解得 从而 在（3.3.17）中令t=0，并结合初始条件（3.3.14）得 其中 将 代入到（3.3.17）中变得定解问题（3.3.12）--- （3.3.14）的解。 例6:解下列定解问题 例 8　求方程 y? + 2y? - 3y = ex 的特解. 　　解　a = 1 是特征方程 r2 + 2r - 3 = 0 的单根，取 k = 1， 则 代入方程，得 故原方程的特解为 所以，设特解为 , 4 1 = B 3? 自由项 f (x) 为 eax (Acos wx + Bsin wx)型 设二阶常系数线性非齐次方程为 y? + py? + qy = eax (Acos wx + Bsin wx)， 其中 a，A ，B 均为常数. 　　由于 p，q 为常数，且指数函数的各阶导数仍为指数函数，