数学物理与方程FirstSecond2 .pptVIP

7.2 节 定解条件 课堂作业（5 分钟） 弦的横振动问题，一端固定，另一端与一竖直弹簧相连，弹簧的另一端固定，求这个定解问题的边界条件。 板书画图。 笔记 P66 页。 线性二阶偏微分方程 课堂作业（5 分钟） 在无界空间内求如下定解问题的解： 分离变数法（傅里叶级数法） 先求泛定方程通解的办法只适用于很少数的某些定解问题。 分离变数法（傅里叶级数法）是定解问题的一种基本解法，适用于大量的各种各样定解问题。 分离变数法的基本思想是把偏微分方程分解为几个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件而构成本征值问题。 课堂作业（5 分钟）笔记P69页 求解如下定解问题： 驻波 椭圆型方程 ——两个自变数方程的分类 二维拉普拉斯方程：静电场方程、稳定温度分布方程都是标准形式的椭圆型方程 达朗贝尔公式 定解问题 大家已经熟悉常微分方程的常规解法: 先不考虑任何附加条件, 从方程本身求出通解, 通解中含有任意常数 (积分常数), 然后利用附加条件确定这些常数. 偏微分方程能否仿照这种办法求解呢? 注意方程是线性的 笔记 P 68 页 达朗贝尔公式 运用达朗贝尔公式，给出无界或半无界条件下波动方程解的物理图象；数学上把偏微分方程化为常微分方程求解。 达朗贝尔公式 数学上把偏微分方程化为常微分方程求解。 板书推导 笔记P4页 作变量代换 变量代换的思想是数学和物理学中重要的解决问题的思路。 达朗贝尔公式 无界振动方程的通解 达朗贝尔公式 不同于常微分方程的情况, 式中出现任意函数而不是任意常数. 振动方程的通解 达朗贝尔公式 这个偏微分方程描写以速度 a 向两方传播的行波。 板书解释 笔记P4 页 由初始条件确定待定函数 我们假定所研究的弦、杆、传输线是“无限长”的，这就不存在边界条件。设初始条件是 该定解问题的解为 达朗贝尔公式 板书推导 笔记 P5 页 没有边界条件的问题 拿弦振动问题为例, 如果弦很长, 着重研究靠近一端的那段弦。在不太长的时间里, 另一端的影响还没来得及传到，不妨认为另一端并不存在，或者说另一端在无限远，当然就无需提出另一端的边界条件。这样，有限长的真实的弦抽象成半无界的弦。 如果着重研究不靠近两端的那段弦，不妨认为两端都不存在，或者说两端都在无限远，当然就无需提出边界条件了。这样，有限长的真实的弦抽象成无界的弦。 看书 （P172）例一：定解问题为 初始速度为零 初始位移 （P172）例一：波已“通过”的地区，振动消失而弦静止在原平衡位置。 观看动画 （P173）例二：定解问题为 初始位移为零 初始速度 更正书上错误并推导 笔记 P5 页 （P173）例二：波已“通过”的地区，虽然振动也消失，但偏离了原平衡位置。 观看动画 端点的反射 定解问题： 端点的反射 奇延拓： 板书解释偶延拓和奇延拓的物理意义 笔记 P5 端点的反射 运用达朗贝尔公式： 板书推导 笔记 P6页 端点的反射 运用达朗贝尔公式： 端点的反射 观看动画 端点的反射 板书推导半无限长杆的自由振动，杆的端点自由。笔记 P6页 定解问题是一个整体 从偏微分方程解出达朗贝尔公式的过程，与大家所熟悉的常微分方程的求解过程是完全类似的。 但是很可惜，绝大多数偏微分方程很难求出通解；即使已求得通解，用定解条件确定其中待定函数往往更加困难。 除了达朗贝尔公式一类极少的例外，不可能先求偏微分方程的通解然后再考虑定解条件，必须同时考虑偏微分方程和定解条件进行求解 达朗贝尔方程是对方程解的理解，但对于一般复杂问题的情形，简单的行波解形式是求不出来的。 定解问题的适定性 有解 解是唯一的 解是稳定的 稳定性：如果定解条件的数值有细微的改变，解的数值也只作细微的改变 非线性偏微分方程的解就有可能是不稳定的，出现混沌。 很长时间以后，位移自然出现比较大的偏差 板书证明达朗贝尔解的稳定性。 笔记 P7页 * 什么是边界？ 由连接研究对象和环境的所有点组成的物理区域 对于一维系统，它是两个端点 对于二维系统，它是闭合曲线 对于三维系统，它是封闭曲面 要确定一个由数理方程描述的物理问题的解，必须给定所有边界上的信息：确切说明边界上的物理状况 边界条件 常见的线性边界条件，数学上分为三类： 第一类边界条件，直接规定了所研究的物理量在边界上的数值。 第二类边界条件，规定了所研究物理量在边界外法线方向上方向导数的数值。 第三类边界条件，规定了所研究物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值。 边界条件 第一类 第二类 第三类 具体的例子（第一类边界条件） 弦的两端固定而振动，边界条件为 具体的例子（第一类边界条件） 热传导问题，杆的两端恒温，边界条件为 具体的例子（第二类边界条件） 具体的例子（第二类边界条件） 板书推导 笔记 P1