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数学物理方程 理学院 冯国峰 第3章 行波法与积分变换法 行波法只能用于求解无界区域上的波动方程定解问题，虽然有很大的局限性，但对于波动问题有其特殊的优点，所以该法是数学物理方程的基本解法之一。 积分变换法不受方程类型的限制，一般应用于无界区域的定解问题，但对于有界区域的定解问题也能应用。 第3章 行波法与积分变换法 3-1 行波法 无界弦振动的柯西问题 ： 式中 均为已知函数。 第3章 行波法与积分变换法 引入新变量 第3章 行波法与积分变换法 原柯西问题的通解为 初始条件代入其中，有 无界弦振动的柯西问题的解（达朗贝尔解 ）为： 第3章 行波法与积分变换法 函数 称为左传播波，由它描述的振动的波形是以常速度a向左传播的行波。 函数 称为右传播波，由它描述的振动的波形是以常速度a向右传播的行波。 积分所代表的也是类似的沿着x轴的正负方向传播的波，不过是由初速度 引起的。 第3章 行波法与积分变换法 达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波的形式分别向x轴的正负两个方向传播出去，其传播速度恰恰是弦振动方程中出现的常数a。基于这种原因，达朗贝尔解法又称为行波法。 第3章 行波法与积分变换法 称为点 的依赖区间。它是过点 分别作斜率为 的直线与x轴相交所截得的区间。 初始时刻 时，取x轴的一个区间 ， 作直线 与直线 ，它们和区间 一起构成一个三角形区域，称为决定区域。 在平面上由不等式 所确定的区域称为区间 的影响区域。 第3章 行波法与积分变换法 在 平面上，斜率为 的两族直线 称为一维波动方程的特征线。波动实际上是沿着特征线传播的，因此行波法又称为特征线法。 无累积效应 ： 有累积效应： 第3章 行波法与积分变换法 当弦的振动受到外力干扰时，就归结为非齐次方程的定解问题： 振动位移分为两部分： 一部分是只受外力影响的 ，另一部分是由初始形变产生的回复力使弦产生的位移 第3章 行波法与积分变换法 满足（I） 满足（II） 问题（II）应用达朗贝尔公式即可解出，而问题（I）则要应用下面的齐次化原理来求解。 第3章 行波法与积分变换法 齐次化原理： 是初值问题 的解（其中 为常数），则 就是初值问题（I）的解。 3-2 延拓法求解半无限长振动问题 （一）半无限长弦的自由振动问题： 3-2 延拓法求解半无限长振动问题 解析延拓： 3-2 延拓法求解半无限长振动问题 （1）当 时， （2）当 时， 3-2 延拓法求解半无限长振动问题 （二）半无限长弦的强迫振动问题 若弦的一端固定在原点，另一端无限长，并且还受到外界的干扰，则应考虑定解问题： 3-2 延拓法求解半无限长振动问题 延拓后的定解问题： 3-2 延拓法求解半无限长振动问题 （1）当 时， （2）当 时，有必要分析积分下限 为负值时 的取值范围。 3-2 延拓法求解半无限长振动问题 当 时，解不变；当 时， 3-3 高维波动方程的初值问题 三维波动方程初值问题： 其中 和 均为已知函数。 3-3 高维波动方程的初值问题 平均值法：不考虑函数 本身，而是研究 在以点 为球心，以r为半径的球面上的平均值 ，当暂时选定 后， 就是关于r，t的函数。当我们很方便地求出 后，令 则 ，问题就得到了解决。 3-3 高维波动方程的初值问题 把达朗贝尔公式改写为： （1）积分 是函数