数学物理与方法复习1 .pptVIP

数学物理方法 一、复数 1、复数的运算法则：代数运算、复共轭(实部、虚部、模、辐角)。 2、复数的指数形式与几何表示。 二、复数域 1、复数域对应于一个复平面。 2、复数域对于代数运算封闭。（完整数域） 3、复数球与扩充复数域、无穷远点。 数学物理方法 三、复平面上的点集 1、邻域 2、内点、边界点、（聚点、孤立点） 3、开集（区域）、闭集、连通集、单连通区域、复连通区域。 4、正方向、（逆时针方向）。 四、复变函数 1、单值函数、多值函数。 2、极限、连续。 3、可微、Cauchy-Riemann方程。 数学物理方法 五、解析函数 1、共轭调和函数、平面标量场。 六、多值函数 1、支点 2、黎曼面 数学物理方法 七、复变积分 1、积分路径 2、柯西定理（解析函数、单连通） 3、原函数 4、复连通区域的柯西定理 5、柯西公式、无界区域的柯西公式 数学物理方法 6、解析函数的高阶导数： 7、解析函数的任意阶可微、局部和整体的关联…… 数学物理方法 例1：解析函数在圆内解析，则圆周上的平均值等于在圆心 处值。（平均值定理) 证：圆为 ，运用柯西公式 数学物理方法 八、复级数 1、收敛、绝对收敛、条件收敛。 2、比较判别法、比值判别法、根值判别法。 3、复变级数、一致收敛。 九、幂级数 1、收敛圆、收敛半径。 十、泰勒展开。（零点、解析延拓） 数学物理方法 十一、洛朗展开 1、收敛区域（环域）。 2、奇点、可去奇点、m阶级点、本性奇点。 数学物理方法 十二、留数定理 1、留数（洛朗展开的系数a-1） 单极点： m阶极点： 数学物理方法 例2、求 在原点的留数。 解： 数学物理方法 2、无穷远点的留数 3、留数定理 数学物理方法 例3、计算 解：被积函数的奇点在k+0.5处，在圆内共有2n个奇点，均 为单极点。 因此 数学物理方法 十三、利用留数定理求定积分 1、三角函数积分，化为单位圆上的回路积分。 2、广义积分，利用无穷远处zf(z)一致趋于0，补上半个大圆， 形成回路积分。 技巧：偶函数延拓等等。 数学物理方法 3、包含三角函数的无穷积分，当f(z)一致趋于0，利用约当 引理，补上上半个大圆成为回路积分。 三角函数化为指数函数 因为指数函数在上半大圆收敛 4、实轴上有单极点，相当于半个奇点。 多值函数积分、…… 数学物理方法 十四、傅立叶级数 1、实形式、复形式 2、奇延拓、偶延拓。 数学物理方法 十五、傅立叶积分 1、运算性质：线性、延迟、位移、相似、卷积、导数、积分…… 2、多重傅立叶变换。 数学物理方法 十六、δ函数 1、点源函数。 2、运算性质。 3、多维δ函数。 数学物理方法 十七、拉普拉斯变换 1、变换与逆变换 2、运算性质 3、解微分方程（数理方程）。