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数值分析 黄凤辉博士 主讲 华南理工大学数学系 Tel:email: huangfh@scut.edu.cn 数值分析研究的对象 数值分析研究的对象 数值分析研究的对象 数值分析研究的任务 数值分析研究的目的 课程主要内容 第一章 绪论 1.计算方法中常用的一些概念 数值问题、数值解 、算法 由一组已知数据（输入数据），求出一组结果数据（输出数据），使得这两组数据之间满足预先制定的某种关系的问题，称为数值问题。 经过计算机的计算求出的解，或由数值计算公式得出的解称为数值解。一般数值解是近似值。 由给定的已知量，经过有限次的四则运算及规定的运算顺序，求出所关心的未知量的数值解，这样所构成的整个计算步骤，称为算法。 计算量 一个算法所需要的乘法和除法总次数称为计算量。计算量的单位为flop，表示完成一次浮点数乘或除法所需要的时间。算法的计算量可以衡量算法的优劣，因为它体现着算法的计算效率，通常算法的计算量越小，则算法的计算效率越高，因而该算法也越好。 由于计算机做加减法要比乘除法快得多，故算法的计算量可以不考虑加减法的时间。 例: 设A，Ｂ，Ｃ分别为10×20，20×50，50×10的矩阵，计算D=ABC就有如下不同的算法和计算量 算法1：D=(AB)C 计算量 N1=15000 flop; 算法2：D=A(BC) 计算量 N2=12000 flop. 病态问题 因初始数据的微小变化，导致计算结果的剧烈变化问题称为病态问题。病态问题也称为坏问题、不良问题，这类问题通常是问题本身固有的。 求解病态问题应该特别注意，因为实际问题的数据都是近似的或经计算机计算要对输入数据做舍入处理，这都引起原始数据的扰动，若所求解的正好是个病态问题，则采用通常算法计算就会出现很隐蔽的错误，导致不良的后果。病态问题在函数计算方程组求根及方程组求解中都是存在的，它的计算或求解应用专门的方法或将其转化为非病态问题来求解。 数值稳定算法 在计算过程中产生的舍入误差能被控制在一定的范围内，且对最后的结果影响不大的算法称为稳定算法。不是数值稳定的算法称为数值不稳定算法。 数值不稳定算法会导致计算结果失真， 对数值不稳定的算法常采用转化成相应的数值稳定的算法来处理 。 2.对算法所要考虑的问题 3. 数值计算中的误差 来源及种类 --- 模型误差、参数误差、 截断误差、舍入误差。 数值计算中的误差 数值计算中的误差 数值计算中的误差 相对误差 --- 近似数 x * 关于准确数 x 的相对误差： 数值计算中的误差 有效数字 --- 用 x * 表示 x 时准确到小数点后第 k 位： 数值计算中的误差 有效数字与相对误差的关系 --- n 位有效数字的近似数 x * 其相对误差： 4. 数值计算中应注意的几个问题 某些原则 --- １．使用收敛稳定的计算方法； ２．小心处理病态的数学问题； ３．注意简化计算步骤，减少算术运算的次数； ４．避免两个相近的数相减； ５．防止大数“吃掉”小数． OK! Let’s have a break! * * * * 数值分析是计算数学的范畴，有时也称它为计算数 学、计算方法、数值方法等，其研究对象是各种数学 问题的数值方法的设计、分析及其有关的数学理论和 具体实现的一门学科，它是一个数学分支。是科学与 工程计算（科学计算）的理论支持。 许多科学与工程实际问题（核武器的研制、导弹的发 射、气象预报）的解决都离不开科学计算。 目前，试验、理论、计算已成为人类进行科学活动 的三大方法。 它与其他学科相结合也产生一些边缘科学，如计算力 学、计算物理、计算生物学及计算经济学等 。 计算机只能进行加减乘除四则运算和一些简单的函数计 算(即使是函数也是通过数值分析方法处理，转化为四则 运算而形成了的一个小型论软件包)。 本门课程将着重绍进行科学计算所必须掌握的一些最 基本、最常用的算法，并分析其误差。 科学计算的过程，是从数学模型的提出到上机计算得出结果的完整过程。（下图表明了其中的主要步骤和相互关系 ） 数学化 离散化 程序化 数学模型 构造算法 编制程序 上机运行 输出结果 实际问题 ① 将计算机不能直接计算的运算，化成在计算机上可 执行的运算。 ② 针对数值问题研究可在计算机上执行且行之有效的新 的计算公式。 例：解线性方程组，已有Cra