高考专题不等式的证明.docVIP

不等式的证明（证明不等式的常用方法） 一、知识精要 1.均值定理：a+b≥2； ab≤（）2（a、b∈R+）， 当且仅当a=b时取等号. 2.比较法：a－b＞0a＞b，a－b＜0a＜b. 3.作商法：a＞0，b＞0，＞1a＞b. 特别提示 1.比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法.作差后需要判断差的符号，作差变形的方向常常是因式分解后，把差写成积的形式或配成完全平方式. 2.比商法要注意使用条件，若＞1不能推出a＞b.这里要注意a、b两数的符号. 4.利用定理和推论 定理：如果，那么（当且仅当时取“=”） 推论：如果，那么 （当且仅当时取“=”） 5.用综合法证明不等式：利用不等式的性质和已证明过的不等式以及函数的单调性导出待证不等式的方法叫综合法，概括为“由因导果”. 6.用分析法证明不等式：从待证不等式出发，分析并寻求使这个不等式成立的充分条件的方法叫分析法，概括为“执果索因”. 分析法的书写格式： 要证明命题B为真， 只需要证明命题为真，从而有…… 这只需要证明命题为真，从而又有…… …… 这只需要证明命题A为真 而已知A为真，故命题B必为真 7.放缩法证明不等式. 常用的放大缩小的结论： 8.利用单调性证明不等式. 9.构造一元二次方程利用“Δ”法证明不等式. 10.数形结合法证明不等式. 11.反证法、换元法等. 12．三角换元： 若0≤x≤1，则可令x = sin( ()或x = sin2( () 若，则可令x = cos( , y = sin( () 若，则可令x = sec(, y = tan( () 若x≥1，则可令x = sec( () 若x(R，则可令x = tan( () 二 例题精讲 【例1】.若a、b是正数，则、、、这四个数的大小顺序是 A.≤≤≤ B.≤≤≤ C.≤≤≤ D.≤≤≤ 解析：可设a=1，b=2， 则=，=， =， ===. 答案：C 【例2】.设0＜x＜1，则a=x，b=1+x，c=中最大的一个是 A.a B.b C.c D.不能确定 解析：∵0＜x＜1， ∴1+x＞2=＞. ∴只需比较1+x与的大小. ∵1+x－==－＜0， ∴1+x＜. 答案：C 【例3】.（2005年春季上海，15）若a、b、c是常数，则“a＞0且b2－4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 必要条件 解析：当a＞0，b2－4ac＜0时，ax2+bx+c＞0. 反之，ax2+bx+c＞0对x∈R成立不能推出a＞0，b2－4ac＜0. 反例：a=b=0，c=2.故选A. 答案：A 【例4】.（理）已知|a+b|＜－c（a、b、c∈R），给出下列不等式： ①a＜－b－c；②a＞－b+c；③a＜b－c；④|a|＜|b|－c；⑤|a|＜－|b|－c. 其中一定成立的不等式是____________.（把成立的不等式的序号都填上） 解析：∵|a+b|＜－c，∴c＜a+b＜－c. ∴－b+c＜a＜－b－c.故①②成立，③不成立. ∵|a+b|＜－c，|a+b|≥|a|－|b|， ∴|a|－|b|＜－c.∴|a|＜|b|－c. 故④成立，⑤不成立. 答案：①②④ （文）若a、b∈R，有下列不等式：①a2+3＞2a；②a2+b2≥2（a－b－1）；③a5+b5＞a3b2+a2b3；④a+≥2.其中一定成立的是__________. 解析：①a2+3－2a=（a－1）2+2＞0， ∴a2+3＞2a； ②a2+b2－2a+2b+2=（a－1）2+（b+1）2≥0， ∴a2+b2≥2（a－b－1）； ③a5+b5－a3b2－a2b3=a3（a2－b2）+b3（b2－a2） =（a2－b2）（a3－b3）=（a+b）（a－b）2（a2+ab+b2）. ∵（a－b）2≥0，a2+ab+b2≥0，但a+b符号不确定， ∴a5+b5＞a3b2+a2b3不正确； ④a∈R时，a+≥2不正确. 答案：①② 【例5】.船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度v1和在静水中的速度v2的大小关系为____________. 解析：设甲地至乙地的距离为s，船在静水中的速度为v2，水流速度为v（v2＞v＞0），则船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间 t=+=， 平均速度v1==. ∵v1－v2=－v2=－＜0， ∴v1＜v2. 答案：v1＜v2 【例6】 设a＞0，b＞0，求证：（）（）≥a+b. 剖析：不等式两端都是多项式的形式，故可用比差法证明或比商法证明. 证法一：左边－右边＝－（＋） ＝ ＝＝≥0. ∴原不等式成立.