11数系的扩充和复数的概念.docVIP

第三章　数系的扩充与复数的引入 教材分析　　　　　 复数在数学、力学、电学等其他学科中都有广泛的应用，复数与向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，也是进一步学习数学的基础． 本章内容分为两节：3.1数系的扩充和复数的概念，3.2复数代数形式的四则运算． 教材通过问题情境：“方程x2＋1＝0在实数集中无解，如何设想一种方法使该方程有解？”引出扩充数系的必要性，从而引入虚数、复数的概念．复数实际上是一对有序数对，即a＋bi(a，b)，类比实数可以用数轴上的点表示，复数就可以在直角坐标系中用点或向量表示，从而有了复数的几何意义，使数和形得到了有机的结合． 复数代数形式的四则运算可以类比代数式运算中的“合并同类项”“分母有理化”等，利用i2＝－1，将复数代数形式的四则运算归结为实数的四则运算，体现了化虚为实的化归思想． 复数的加法、减法运算还可以通过向量的加法、减法的平行四边形或三角形法则来进行，这不仅又一次看到了向量这一工具的功能，也把复数及其加、减运算与向量及其加、减运算完美地统一起来． 教材每节设置了“思考”“探究”，让学生通过类比思想，并借助于具体实例对数系进行了扩充，研究了复数代数形式的几何意义和复数加、减法的运算及几何意义，体现了《课标》以学生为主体的教学理念，有利于培养学生的思想素质和激发学习数学的兴趣和欲望． 本章的重点是复数的概念及复数代数形式的四则运算，本章的难点是复数的引入和复数加、减法的几何意义． 课标要求　　　　　 (1)在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系． (2)理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件． (3)了解复数的代数表示法及其几何意义． (4)能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义． 教学建议　　　　　 (1)数的概念的发展与数系的扩充是数学发展的一条重要线索．数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，也体现了数学发生、发展的客观需求．建议教学时详细介绍从自然数系逐步扩充到实数系的过程，使数系的扩充与复数的引入更为自然，让学生充分领略数系扩充过程中所蕴涵的数学思想和科学发展思想． (2)在讲解复数的相关概念时，在“复数相等”环节，可以类比“相反数”的概念． (3)学习复数代数形式时的加、减、乘等运算时，可设置研究问题：用第二章“类比推理”思想，将多项式的运算法则与之进行类比． (4)删减的内容不必再补．对于弱化的部分，建议也只是在其出现的地方作适当延伸，不必重点讲解． 课时分配　　　　　 本章教学时间大约需5课时，具体分配如下(仅供参考) 3.1　数系的扩充和复数的概念 约2课时 3.2　复数代数形式的四则运算 约2课时 第三章　数系的扩充与复数的引入复习课 约1课时 3.1　数系的扩充和复数的概念 3．1.1　数系的扩充和复数的概念 教材分析　　　　　 教材通过三个环节完成了对实数系的扩充过程：(1)提出问题(用什么方法解决方程x2＋1＝0在实数集中无解的问题)，引发学生的认知冲突，激发学生扩充实数系的欲望；(2)回顾从自然数集逐步扩充到实数集的过程和特点(添加新数，满足原来的运算律)；(3)类比、设想扩充实数系的方向及引入新数i所满足的条件(使i2＝－1成立，满足原来的运算律)．由于学生对数系扩充的知识并不熟悉，教学中教师需多作引导． 复数的概念是复数这一章的基础，复数的有关概念都是围绕复数的代数表示形式展开的．虚数单位、实部、虚部的命名，复数相等的概念，以及虚数、纯虚数等概念的理解，教学中可结合具体例子，以促进对复数实质的理解． 课时分配　　　　　 1课时． 教学目标　　　　　 1．知识与技能目标 了解引进复数的必要性；理解虚数单位i以及i与实数的四则运算规律．理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等)． 2过程与方法目标 通过问题情境，了解扩充数系的必要性，感受数系的扩充过程，体会引入虚数单位i和复数形式的合理性，使学生对数的概念有一个初步的、完整的认识． 3．情感、态度与价值观 通过问题情境，体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系． 重点难点　　　　　 重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念． 难点：虚数单位i的引进及复数的概念． 请同学们回答以下问题： (1)在自然数集N中，方程x＋4＝0有解吗？ (2)在整数集Z中，方程3x－2＝0有解吗？ (3)在有理数集Q中，方程x2－2＝0有解吗？ 活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，最后师生总结． 活动成果：问题(1)在自然数集中，方程x＋4＝