函数值域的十五种求法.docVIP

1. 直接观察法 3. 判别式法例3. 求函数的值域。解：两边平方整理得：（1）∵?∴解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由?求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。∵?∴∴代入方程（1）解得：?即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例4. 求函数值域。解：由原函数式可得：则其反函数为：，其定义域为：故所求函数的值域为：5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。例5. 求函数的值域。解：由原函数式可得：，可化为：?即∵?∴即?解得：故函数的值域为6. 函数单调性法例6. 求函数的值域。解：令?则在[2，10]上都是增函数所以在[2，10]上是增函数当x=2时，当x=10时，故所求函数的值域为：例7. 求函数的值域。解：原函数可化为：令，显然在上为无上界的增函数所以，在上也为无上界的增函数所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值显然y0，故原函数的值域为 7. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作?例8. 求函数的值域。解：因即故可令∴∵∴∴故所求函数的值域为 例9. 求函数的值域。解：原函数可变形为：可令，则有∴当时，当时，而此时有意义。故所求函数的值域为 例10. 求函数，的值域。解：令，则?由?且可得：∴当时，，当时，故所求函数的值域为。 例11. 求函数的值域。解：由，可得故可令∵?∴当时，当时，故所求函数的值域为：8. 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。[要学习网,只做中学生最喜欢、最实用的学习论坛，地址??手机版地址 ]例12. 求函数的值域。解：原函数可化简得：y=|x-2|+|x+8|上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B(-8)间的距离之和。由上图可知，当点P在线段AB上时，y=|x-2|+|x+8|=|AB|=10当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y=|x-2|+|x+8||AB|=10故所求函数的值域为： 例13. 求函数的值域。解：原函数可变形为：上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(-2,-1)的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，，故所求函数的值域为例14. 求函数的值域。解：将函数变形为：上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点B(-2,1)到点P(x,0)的距离之差。即：y=|AP|-|BP|由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P，则构成△ABP，根据三角形两边之差小于第三边，有即：（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有综上所述，可知函数的值域为：注：由例13，14可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。如：例13的A，B两点坐标分别为：（3，2），(-2,-1)，在x轴的同侧；例14的A，B两点坐标分别为（3，2），(2,-1)，在x轴的同侧。9. 不等式法利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例15. 求函数的值域。解：原函数变形为：当且仅当tanx=cotx即当时，等号成立故原函数的值域为：例16. 求函数y=2sinxsin2x的值域。解：y=4sinxsinxcosx当且仅当，即当时，等号成立。由可得：故原函数的值域为：10. 映射法原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。例17. 求函数的值域。解：∵定义域为由得故或解得故函数的值域为11．最值法对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得