第十三讲 解析几何中的最值和参数取值范围问题.pdf

第十三讲 解析几何中的最值和参数取值范围问题 一、考点演绎 纵观历年的高考题，不难发现以解析几何知识点为载体的求最值和参数取值范围的问题， 在高考真题和高考模拟题中经常出现．这类问题不仅涉及的知识面广、综合性强、变量多、 应用性强，而且情景新颖，能很好地考查学生的突破性思维和数学素养，所以其一直是高 考的热门题型． 这类求最值和参数取值范围的试题具有以下特点： （1）直线和圆锥曲线的位置关系的研究和讨论是常见的考察方向； （2 ）函数，方程，不等式，向量，三角函数等知识与解析几何问题的有机结合，将继 续成为高考数学的重头戏； （3 ）求轨迹方程、求弦长、求角、求面积、求最值、证明等量关系、证明定值、探索 研究以及存在性的讨论等问题仍将是常见的题型； （4 ）重视对数学思想方法的考查，数学思想方法是数学的灵魂，是解答数学题的最高 准则，是我们解题的总指导方针； （5 ）试题中既重思维，又重运算，还要考查学生的心理素质，必须努力克服轻视计算， 容易出错、眼高手低等毛病，培养克服困难的勇气和信心． 二、例题精讲 I 数形结合求最值 例 1．已知点A 4,1 , B 0,4 ，在直线l : y 3x 1上找一点P ，求使PA PB 最大时P     的坐标． 【解法导析】：本题是相当典型的解析几何中利用数形结合求动点到定点距离之和（之差） 最值的问题．在此类题中，要牢牢把握此类题型的关键，即“异侧求和，同侧求差” ．本题只 要利用好点关于直线对称就能迎刃而解． 【详解】：如图，设点C x, y 是点B 关于直线l 的对称点，   Y 1 P 则由kl 3 ，得：kBC  ， 3 B 1 ∴直线BC 的方程为：y  x 4 ，将其与直线y 3x 1 联立， D 3 C 3 7  解得D , ，其中D 为BC 中点，利用中点坐标公式，得C 3,3 ．     2 2  P A 显然，PA PB PA PC  AC ，当且仅当A 、C、 X O P 三点共线时，PA PB 最大． 可求得，直线AC 方程为2x y 9 0 ，与l 方程联立解得P 的坐标为 2,5 ．    2 m 1x ,x 1,1 例 2 ．已知以t 4 为周期的函数f x   ，其中m 0 ．若方程    1x 2 ,x  1,3   