李同林 弹塑性力学 第十章 变分法.pdfVIP

§8—7 力学分析方法概述 弹塑性力学与所有力学的分析方法一样，在用数学公式来表达弹 塑性体受力的变形问题时，有两条不同的途径： 其中一条途径是: 以牛顿定律作为依据，通过微元体各力学参量 （应力、应变和位 移）之间的关系建立泛定方程组及其边界条件，这是属于“矢量力学” 范畴。 我们要求的问题的解就是应当既满足泛定方程，而又满足边界条 件。如果问题的解答是精确的满足就是精确解，如果近似地满足就是 近似解。（本章之前所讨论的都是这部分内容）； 另一条途径是： 以功能原理作为依据在上述微分关系上，最后通过积分建立整个 物体的能量表达式（泛函）求其驻值或极值问题，这是属于“分析力 学”的范畴。我们要求的解就是精确或近视地满足边界条件同时使能 量具有极值（一般为最小值）。 上述两种途径： 前者称为几何法 （矢量法），后者称为变分法 （能量法）。在 一定条件下它们所讨论的内容可以互相转化，它们所得到的结果 可以为函数解，两者的解答是等价的 （殊途同归）。 几何法 （矢量法）和变分法 （能量法）统称为力学分析的解 析法。 矢量法与能量法在应用上各有特点，一般说来： 216 （a ） 矢量法： 以牛顿定律作为依据，其微分方程的形成是与矢量相联系的； 所以对于二维或三维问题就有联立的两个或三个微分方程组； 而且方程的形式随着坐标的变换而改变。 而能量法： 是以虚功或余虚功原理作依据；将力学规律以能量形式表示； 其表达的形式是不随坐标变换而变化。 （b ）对于弹塑性力学边值问题的求解，真正能解出精确的函数解的只是少 数的较简单问题，这是因为客观事物的复杂性与多样性不可能都能用有限的闭合 的“解析函数”来描述。 而能量法（指应用能量原理的变分法）却为求近拟解提供了有利条件，因 为能量计算中的最高阶次导数只有微分方程中的最高阶次导数阶次的一半。 另外，微分方程的边界条件在用能量法求解时可以相应的放松。 所以能量法更容易构造近似解。 为适应和满足工程实际问题的需要，弹塑性力学必须提供有足够精确度的近 似解法。 更由于近代电子计算技术的发展，为解析解法转向数值解法提供了强有力的 工具。 因此，应用数值解法来求解力学问题的近似解法是现代力学分析方法。 力学分析中的数值解法又可分为两类： 第一类：是在解析解法的基础上进行近似数值计算方法。 先对弹塑性力学问题建立基本微分方程，然后对基本微分方程采用近似的数 217 值解法。 这类方法的代表是有限差分法。 第二类：是在力学模型上进行近似的数值计算。 先将连续体分割为有限个单元组成的离散化模型求出数值解答。 这类方法的代表是有限单元法。 关于离散计算的有限单元法已形成专门学科，读者可参考有关书籍。 综上所述，现将力学分析方法及其解的分类列表于下： 218 第十章 弹性力学变分法 §10—1 概 述 弹性力学基本方程 弹性体的应变能 一、概述： 在弹性力学中，即使对于像平面应力、平面应变、柱体的扭转以及弯曲等特 殊问题，当边界条件比较复杂时，要求得精确解答已经是十分困难，甚至于不可 能的了。 因此，对于弹性力学、弹塑性力学的大量实际问题，近似解法有极为重要 的意义。 本章要介绍的变分方法，是近似解中最有成效的方法之一。（前已说明，变 分法也可以得到精确解）。 所谓弹(塑)性力学变分解法就是基于力学的能量原理，来求解 弹(塑)性力学问题的变分方法。 这种方法从其本质而言：是要把原来在给定的边界条件下求解微 分方程组的问题，转变成为泛涵求极值的问题； 而在求问题的近似解时，泛函的极值问题又可变换成为函数的极 值问题。 因此，最终可以将问题归结为求解线性代数方程组。