初中几何定理的证明.pdfVIP

七年级下册 几何定理的证明 2.定理：三角形的内角和是 180° 已知：如图，在∆ABC 中，∠A、∠B、∠C 是它的三个内角。 求证：∠A+∠B+∠C=180° 方法一：证明：过点 A 作 AC’ ∥BC 方法二：延长 BC ，过点 C 作 CD ∥AB ，同样利用平行线的性质来证明。 3.定理：n 边形的内角和等于（n-2 ）·180° 证明思路：如下图，将多边形分割成若干个三角形，利用三角形的内角和定理来求。 4.定理：三角形的外角和等于360 ° 已知：如图，在∆ABC 中，∠α、∠β、∠γ是它的三个外角。 求证：∠α+∠β+∠γ=360° 证明： 5.定理：多边形的外角和等于360 ° 证明思路和三角形外角和思路一样。 八年级上册 几何定理的证明 6.定理：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等。 已知：如图，线段AB 的垂直平分线l 交 AB 于点 O，点P 在 l 上. 求证：PA=PB 证明： ∵l┴AB ， ∴∠AOP=∠BOP=90° ∵l 平分AB ∴AO=BO 又 OP=OP,∠AOP=∠BOP=90° ∴∆AOP 全等于 ∆BOP ∴PA=PB 7.定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 已知：如图，PA=PB. 求证：点 P 在 AB 的垂直平分线上. 方法一： 证明：过点 P 作 PO┴AB 于 O ∵PO┴AB ， ∴∠AOP=∠BOP=90° ∴∆AOP 、∆BOP 都是直角三角形. ∵PA=PB ，OP=OP ∴Rt∆AOP 全等于 Rt∆BOP ∴AO=BO 又∵PO┴AB ∴PO 垂直平分 AB 即点P 在 AB 的垂直平分线上. 方法二： 证明：取 AB 的中点O，连接PO ∵PA=PB ，OP=OP，AO=BO ∴∆AOP 全等于 ∆BOP ∴∠AOP=∠BOP 又∠AOP+∠BOP=180° ∴∠AOP=∠BOP=90° ∴PO┴AB ， 又 AO=BO ∴PO 垂直平分 AB 即点P 在 AB 的垂直平分线上. 8.定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。 已知：如图，点Q 是∠AOB 角平分线OQ 上的点，QC┴OA 于 C QD┴OB 于 D， 求证：QC=QD. 证明： ∵QC┴OA，QD┴OB， ∴∠OQD=∠OQC=90°, ∵OQ 平分∠AOB, ∴∠QOD=∠QOC 又 OQ=OQ ∴∆OQD 全等于 ∆OQC ∴QC=QD 9.定理：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 已知：如图，点Q 是∠AOB 内的点，QC┴OA 于 C QD┴OB 于 D，且 QC=QD 求证：Q 在∠AOB 角平分线上. 证明： ∵QC┴OA，QD┴OB， ∴∠OQD=∠OQC=90°, ∴∆OQD、∆OQC 都是直角三角形. ∵QC=QD，OQ=OQ ∴Rt∆OQD 全等于 Rt∆OQC ∴∠QOD=∠QOC ∴OQ 平分∠AOB 即 Q 在∠AOB 角平分线上. 10.定理：等腰三角形的两个底角相等. 11.定理：等腰三角形地边上的高线、中线、顶角的平分线重合。 证明思路如下： 12.定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形 已知：如图在∆ABC 中，∠B=∠C 求证：∆ABC 是等腰三角形 证明思路： 13.定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 已知：CD 是 Rt∆ABC 斜边 AB 上的中线。 1 求证：CD= AB 2 方法一： 证明思路：延长 CD 到 E，使 DE=CD ，得 AB 、CE 互相平分，又∠ACB=90°，所以得矩形 1 1 ACBE,所以 CE=AB.因为CD CE，所以 CE= AB 2 2 方法二： 14.定理：斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等 证明思路： 15.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 方法一： 证明思路： 方法二：思路如下： 方法三：思路如下 方法四：思路如下 16.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为 a 、b 、c ，且 2 2 2 a +b =c