专题二：立体几何一一一线面垂直、面面垂直.docVIP

专题二：立体几何---线面垂直、面面垂直 一、知识点 （1）线面垂直性质定理 （2）线面垂直判定定理 （3）面面垂直性质定理 （2）面面垂直判定定理 线面垂直的证明中的找线技巧 通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直 1．如图1，在正方体中，为 的中点，AC交BD于点O，求证：平面MBD． 证明：连结MO，，∵DB⊥，DB⊥AC，， ∴DB⊥平面，而平面 ∴DB⊥． 设正方体棱长为，则，． 　　 在Rt△中，．∵，∴． ∵OM∩DB=O，∴ ⊥平面MBD． 评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明． 利用面面垂直寻求线面垂直 2．如图2，是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC． 　 证明：在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D． 因为平面PAC⊥平面PBC，且两平面交于PC， 平面PAC，且AD⊥PC， 由面面垂直的性质，得AD⊥平面PBC． 又∵平面PBC，∴AD⊥BC． ∵PA⊥平面ABC，平面ABC，∴PA⊥BC． ∵AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC． 评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直． 　　一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直线面垂直面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明． 3．如图１所示，ABCD为正方形，⊥平面ABCD，过且垂直于的平面分别交于．求证：，． 　　证明：∵平面ABCD， 　　∴．∵，∴平面SAB．又∵平面SAB，∴．∵平面AEFG，∴．∴平面SBC．∴．同理可证． 评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化． 4．如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD， 作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD． 证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF． ∵，∴． ∵，∴． 又，∴平面CDF． ∵平面CDF，∴． 又，，　 ∴平面ABE，． ∵，，， ∴ 平面BCD． 评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论． 5．如图３，是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，平面ABC．若AE⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC． 证明：∵AB是圆Ｏ的直径，∴． ∵平面ABC，平面ABC， ∴．∴平面APC． ∵平面PBC，　 ∴平面APC⊥平面PBC． ∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC， ∴AE⊥平面PBC． ∵平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC． 评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系． 10．如图, 在空间四边形SABC中, SA(平面ABC, (ABC = 90(, AN(SB于N, AM(SC于M。求证: ①AN(BC; ②SC(平面ANM 分析: ①要证AN(BC, 转证, BC(平面SAB。 ②要证SC(平面ANM, 转证, SC垂直于平面ANM内的两条相交直线, 即证SC(AM, SC(AN。要证SC(AN, 转证AN(平面SBC, 就可以了。 证明: ①∵SA(平面ABC ∴SA(BC 又∵BC(AB, 且ABSA = A ∴BC(平面SAB ∵AN平面SAB ∴AN(BC ②∵AN(BC, AN(SB, 且SBBC = B ∴AN(平面SBC ∵SCC平面SBC ∴AN(SC 又∵AM(SC, 且AMAN = A ∴SC(平面ANM ［例2］如图9—40，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC． 图9—40 （1）求证：AB⊥BC； （1）【证明】作AH⊥SB于H，∵平面SAB⊥平面SBC．平面SAB∩平面SBC=SB，∴AH⊥平面SBC， 又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，而SA在平面SBC上的射影为SB，∴BC⊥SB，又SA∩SB=S， ∴BC⊥平面SAB．∴BC⊥AB． ［例3］如图9—4