最优化习题1-7.pdf

最优化方法部分课后习题解答 习题一 1.一直优化问题的数学模型为： min f(x) = (x −3)2 +(x −4)2 1 2 ⎧ 5 g(x) = x − x − ≥ 0 ⎪ 1 1 2 2 ⎪ ⎪ s.t. g (x) = −x − x +5 ≥ 0 ⎨ 2 1 2 ⎪g (x) = x ≥ 0 ⎪ 3 1 ⎪g (x) = x ≥ 0 ⎩ 4 2 试用图解法求出： （1） 无约束最优点，并求出最优值。 （2） 约束最优点，并求出其最优值。 （3） 如果加一个等式约束h(x) = x −x = 0 ，其约束最优解是什么？ 1 2 * 解：（1）在无约束条件下，f(x) 的可行域在整个x0x 平面上，不难看出，当x =（3，4） 1 2 * * 时，f(x) 取最小值，即，最优点为x =（3，4）：且最优值为： f(x ) =0 （2）在约束条件下， f(x) 的可行域为图中阴影部分所示，此时，求该问题的最优点就是 在约束集合即可行域中找一点(x, x ) ，使其落在半径最小的同心圆上，显然，从图示中可 1 2 * 15 5 以看出，当x = ( , ) 时，f(x) 所在的圆的半径最小。 4 4 ⎧ 15 ⎧ 5 x = g(x) = x − x − = 0 ⎪ 1 ⎪ 1 1 2 ⎪ 4 其中：点为g(x) 和g (x) 的交点，令 ⎨ 2 求解得到：⎨ 1 2 ⎪g (x) = −x − x +5 = 0 ⎪x = 5 ⎩ 2