数值的分析课程课件,内容自己看。.pptVIP

* * 第四章 插值法（interpolation） 4.1 问题提出 对原函数，其本身表达式过于复杂，我们只知道有限个 点的函数值 ,需要寻找一个简单的函数 近似地表示原函数，且满足这些给定的数值点。 4.1.1 插值概念 定义：设函数 f(x)在区间[a,b]上有意义, 且已知 的值为 , 若存在一个简单 (1) 成立，则称 为 f(x)的插值函数。其中 为插值节点，[a,b]为插值区间， f(x)为被插值函数， 式(1)为插值条件. 函数 ,使得 几何意义：用线性、抛物线等简单函数近似表示原函数。 插值函数类的选取: 代数多项式(多次式插值)，三角多项式，有理多项式等 最简单的插值多项式: 使得: 有n+1个未知数，n+1个方程求解。 4.1.2 插值多项式的存在唯一性 求未知数： 其系数行列式为 范德蒙行列式 ( Vandermonde) 例如n=2时， 有唯一解。 利用 特殊情况： n=0时，即过一点 可知 插值函数为过 的直线. n=1时, 即为过 两点的直线。 4.2 拉格朗日插值（Lagrange 意大利籍法国数学家） 使用线性方程组求系数构造插值公式相对复杂，可改用构造方法来插值。 对节点 中任一点 , 作一n 次多项式 ，使它在该点上取值为1， 上为0，即 则插值多项式为: 而在其余点 构造过程： 上式表明：n 个点 都是 其中 为待定系数。 ∵ (i=k时) ∴ ∴ n次拉格朗日插值多项式为： 的零点。 常用的拉格朗日插值多项式： n=1时，称为线性插值， n=2时，称为二次插值或抛物线插值， 例题：已知 用线性插值 的近似值。 和抛物线插值计算 解：首先是线性插值： 节点为: ∴ 抛物线插值： 精确值为 , 抛物线精度相对高些. 4.3 插值余项 区间[a,b]上使用插值多项式 近似f(x), 节点 上没有误差，其它点上一般存在误差，记 称 为 近似代替 的截断误差，也称为 的插值余项. 可由下面定理来估计 定理：设f(x)在区间[a,b]上有直到n+1阶导数， 为互不相同的节点， 为满足 的n次插值 其中 ，且与x有关。 除了在 多项式，则对任何 有: 证明：考虑插值节点上有 ∴ 这些节点是 的零点, 可设 ① 其中 为待定函数（与x有关），需确定 . 对 分析知： 当 时，①式左边=右边=0， 此时 可为任意函数。 当 时，为使①式成立， 需为 ∴ 为了计算 ，引入辅导函数 ② 可知 至少有n+2个零点： . 由罗尔定理知: 在 的两个相邻零点间至少有一个零点。 ∴ 至少有n+1个零点，以此类推， 至少有一个零点 ，即 对②关于 t 求n+1阶导数： ( 为n次多项式）， 因为 所以 注意： ，即使得 2.该定理中，当f (x)具有（n+1）阶导数才可使用且 在求误差时，利用 求得，即 例：前面例子中，求线性插值和抛物线插值在 处的误差限。 1.若f (x)本身为不超过n次多项式，则一定可构造出 即 解： 线性插值： 抛物线插值： 4.4 带导数插值条件的插值 利用拉格朗日插值和待定系数法求导数插值条件的插值，一阶导数在几何图形中具有几何意义， （例如参数曲线中的切矢量，包括切线方向和模长） 如何构造，通过下例说明： 例：已知节点上函数值 和 处的导数值 , 构造一个次数不超过3的多项式 ,要求满足： 且 解：对 三节点，可先构造二次拉格朗日插值 令 其中 为不超过3次的多项式 因为 是 和 的零点, 即 也是 的3个零点, 可设 A 为待定系数 （1） 通过计算知， 且 利用(1)式可求出A, 从而得到 所以 注意：（1）也可直接设 A为待定系数，利用导数条件 ，求出A， 一般情况下 也有可能为二次多项式， 原来方法更加准确。 （2）求余项: R(x