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数值的分析基础习题精解
例1. 对于给定的节点及函数值 解: 由(12)式可得 由(19)式得基本方程组 将上述结果代入(10)式 * 例1 求经过A(0, 1)，B(1, 2)，C(2, 3)三个插值点的插值多项式. 解：三个插值节点及对应的函数值为 例3：已知 分别利用 sin x 的1次、2次拉格朗日插值计算 sin 50? 并估计误差. 解： n = 1 分别利用x0, x1 以及 x1, x2 计算 ?利用 这里 而 ?sin 50? = 0.7660444… ) 18 5 ( 50 sin 1 0 ? ? p L 0.77614 外推 的实际误差 ? ?0.01001 ?利用 sin 50? ? 0.76008, 内插 的实际误差 ? 0.00596 内插通常优于外推.选择要计算的 x 所在的区间的端点，插值效果较好. n = 2 ) 18 5 ( 50 sin 2 0 ? ? p L 0.76543 ?sin 50? = 0.7660444… 2次插值的实际误差 ? 0.00061 高次插值通常优于低次插值 但绝对不是次数越高就越好，嘿嘿…… -11/4 -8 -10 3 4 3 14 23 2 8 9 1 1 0 三阶均差 二阶均差 一阶均差 f (xk) xk 例1. 解: 一、高次插值的病态性质 §5 分段低次插值 二次拉格朗日插值多项式 四次拉格朗日插值多项式 五次拉格朗日插值多项式 六次拉格朗日插值多项式 八次拉格朗日插值多项式 十次拉格朗日插值多项式 十四次拉格朗日插值多项式 不同次数的拉格朗日插值多项式的比较 龙格现象 例: 解: 分段线性插值的公式为 一、样条函数 注：三次样条与分段埃尔米特插值的根本区别在于S(x)自身光滑，不需要知道 f 的导数值（除了在2个端点可能需要）；而埃尔米特插值依赖于f 在所有插值点的导数值。 f(x) H(x) S(x) ------(1) * * *
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