数值的分析16样条插值.pptVIP

* 样条插值的算例 三次样条的概念 用一阶导数表示的样条 三次样条的极性 《数值分析》 16 引例. sin x 在区间[0，? ]上的插值逼近 1. 二次插值 2. 两点埃尔米特插值 3. 分段埃尔米特插值 x 0 ? /2 ? Sin x 0 1 0 Cos x 1 0 –1 x 0 ? Sin x 0 0 Cos x 1 –1 2/18 x=-5:5; y=1./(1+x.^2); plot(x,y,x,y,o) x=-5:5; y=1./(1+x.^2); xi=-5:.05:5; yi=spline(x,y,xi); plot(xi,yi,b,x,y,ro) 被插值函数: -5≤ x ≤ 5 3/18 x=[0, 0.0155, 0.1485, 0.3493, 0.6480, 1.0547, 2.0]; y=[0, 0.1242, 0.3654, 0.4975, 0.5472, 0.4781, 0]; n=length(x); t=0:n-1;tt=0:.25:n-1; xx=spline(t,x,tt);yy=spline(t,y,tt); plot(xx,yy,x,y,o) 4/18 定义 5.4 给定区间[a , b]上的一个分划: a = x0 x1 … xn = b 已知 f(xj) = yj (j = 0,1,···,n), 如果 满足: (1) S(x)在 [xj，xj+ 1]上为三次多项式; (2) S”(x)在区间[a，b]上连续; (3) S(xj) = yj ( j = 0,1,···,n). 则称 S(x)为三次样条插值函数. 5/18 当x∈[xj , xj+ 1] ( j= 0,1,…n-1 )时 Sj(x)= aj + bj x + cj x2 + dj x3 插值条件: S(xj) = yj ( j = 0,1,···,n) 连续性条件: S(xj+0) =S(xj-0) ( j = 1,···,n-1) S’(xj+0) =S’(xj-0) ( j = 1,···,n-1) S”(xj+0) =S”(xj-0) ( j = 1,···,n-1) 由样条定义,可建立方程(4n-2)个！！ n个三次多项式, 待定系数共4n个！！ 方程数少于未知数个数 ？？ 6/18 (1)自然边界条件: S”(x0)=0, S”(xn)=0 例 5.7 已知f(–1) = 1, f(0) = 0, f(1) = 1.求[–1，1] 上的三次自然样条(满足自然边界条件). 解 设 则有: – a1+b1–c1+d1=1,d1=0, a2+b2+c2+d2=1 d1=d2, c1=c2, b1=b2 (2)周期边界条件: S’(x0)=S’(xn), S”(x0)=S”(xn) (3)固定边界条件: S’(x0)=f ’(x0), S’(xn)=f ’(xn) 7/18 由自然边界条件: – 6a1+2b1=0, 6a2+2b2=0 解方程组,得 a1=-a2=1/2, b1=b2=3/2, c1=c2=d1=d2=0 问题的解 x=[-1,0,1];y=[1,0,1]; f1=inline(0.5*x.^3+1.5*x.^2); f2=inline(-0.5*x.^3+1.5*x.^2); t1=-1:.1:0;t2=0:.1:1; p1=f1(t1);p2=f2(t2); plot(x,y,o,[t1,t2],[p1,p2],’r’) Hold on, plot([t1,t2],[t1,t2].^2) y= x2 8/18 用分段Hermite两点插值推导样条 已知函数表 x x0 x1 ······ xn f(x) y0 y1 ······ yn 设 f(x) 在各插值节点 xj 处的一阶导数为 mj 取 xj+1 – xj = h，( j = 0,1,2,···,n).当 x∈[xj, xj+ 1]时, 分段Hermite插值 9/18 由S”(x)连续,有等式: S”(xj + 0)=S”(xj – 0) 考虑 S”(x) 在