数值的分析9-常微分方程的差分方法.pptVIP

第三章 常微分方程的差分方法 高 云 问题的提出 常微分方程的定解问题 差分方法 欧拉公式 欧拉格式的误差 例题1 隐式欧拉格式 两步欧拉格式 初值问题的积分形式 梯形公式 改进的欧拉格式 龙格-库塔方法 改进的欧拉格式 二阶龙格-库塔方法 二阶龙格-库塔方法（续） 二阶龙格-库塔方法（续） 收敛性与稳定性 收敛性与稳定性 收敛性与稳定性 收敛性与稳定性 收敛性与稳定性 收敛性与稳定性 收敛性与稳定性 收敛性与稳定性 方程组与高阶方程的情形 方程组与高阶方程的情形 方程组与高阶方程的情形 边值问题 边值问题 边值问题 边值问题 本章结束 谢谢大家！ 稳定性 如果一种差分方法在节点值 yn上大小为 δ 的扰动，于以后各节点值 ym（m n）上产生的偏差均不超过 δ，则称该方法是稳定的. 稳定性问题比较复杂，为简化讨论，我们仅考察下列模型方程 y′ = λy，λ 0 模型的欧拉格式为 yn+1=（1 + hλ）yn 模型的欧拉格式为 则 ξn+1=（1 + hλ）ξn 要使 |yn+1|≤|yn| 则 |1 + hλ|≤1 稳定条件 0 h ≤-2/ λ 模型的隐式欧拉格式为 yn+1= yn+ hλyn+1 解出 恒成立 总有 结论 恒稳定 |yn+1|≤|yn| 一阶方程组的一般形式 化高阶方程为一阶方程 令 则有 考虑常微分方程的边值问题： 其中p(x)，q(x)和f (x)均为[a, b]上给定的函数， ?，?为已知数。 假定p(x)、q(x)及f (x)均为[a, b]上充分光滑的函数， 且q(x)≤0，这时，边值问题存在连续可微的解，且唯一。 用差分法解边值问题的主要步骤是： （1）将区间[a, b]离散化； （2）在这些节点上，将导数差商化，从而把微分方程 化为差分方程； (3) 解差分方程――实际上就是解线代数方程组。 将[a, b]区间用节点 分成N等分，其中x0 = a与xN = b 称为边界点， 而x1, x2, …, xN-1称为内点。 例9.7 试用差分法解方程 解 将[0, 1]划分为四等分，即取 ，得五个节点 差分方程为 * * 实际中，很多问题的数学模型都是微分方程。我们可以研究它们的一些性质。但是，只有极少数特殊的方程有解析解。对于绝大部分的微分方程是没有解析解的。 常微分方程作为微分方程的基本类型之一，在自然界与工程界有很广泛的应用。很多问题的数学表述都可以归结为常微分方程的定解问题。很多偏微分方程问题，也可以化为常微分方程问题来近似求解。 ? 考虑一阶常微分方程的初值问题 只要 f (x, y) 在[a, b] ? R1 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条件，即存在与 x, y 无关的常数 L 使 对任意定义在 [a, b] 上的 y1(x) 和 y2(x) 都成立，则上述问题存在唯一解。 要计算出解函数 y(x) 在一系列节点 a = x0 x1… xn= b 处的近似值 节点间距 为步长，通常采用等距节点，即取 hi = h (常数)。 在这些节点上采用离散化方法，（通常用数值积分、微分、 泰勒展开等）将上述初值问题化成关于离散变量的相应问题。 把这个相应问题的解yn作为y(xn)的近似值。这样求得的yn就是 上述初值问题在节点xn上的数值解。一般说来，不同的离散化 导致不同的方法。 向前差商近似导数 记为 x0 x1 亦称为欧拉折线法 定义 　　　在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考虑的截断误差 Ri = y(xi+1) ? yi+1 称为局部截断误差 定义 　　　若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该算法有p 阶精度。 Ri 的主项 ? 欧拉法的局部截断误差： 欧拉法具有 1 阶精度。 如何求解此问题？ 向后差商近似导数 )) ( , ( ) ( 1 1 0 1 x y x f h y x y + ? x0 x1 ) 1 , ... , 0 ( ) , ( 1 1 1 - = + = + + + n i y x f h y y i i i i 由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式 /* implicit */ 欧拉公式，而前者称为显式 /* explicit */ 欧拉公式。 隐式欧拉格式的代数精度是几阶的？ 中心差商近似导数 x0 x2 x1 假设 ，则可以导出 即中点公式具有 2 阶精度。 需要2个初值 y0和 y1来启动递推 过程，这样的算法称为双步法 /* d