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概率分布的基本性质
第二部分
概率分布的基本性质
• 本章内容：
随机变量的概率分布函数的基本性质：平均值、方差、协方
差矩阵、矩、…
概率密度函数
概率密度函数
（Probability Density Function)
（Probability Density Function)
定义：
X ：连续型随机变量；
Ω：样本空间（X 的值域）
X 的值落入区间[x,x+dx]的概率：
p (x ≤X ≤x +dx) f (x)dx
其中：f(x) 被称为随机变量X 的概率密度函数（p.d.f ），表示单位长度
下的概率。
归一化条件（normalization condition）：
∫Ωf (x)dx 1 表示：在样本空间内，随机变量X 总会取某一值
性质：
1. 对所有的x值, f (x) ≥0
2. f(x)是单值函数
3. f(x)是非奇异的
简称分布函数
定义：
x
F (x) ∫ f (x )dx
xmin f (x)
其中：xmin是随机变量X 的取值下限
意义：
表示随机变量X 的取值小于某一值x 的概率，即
F (x) p (X ≤x), xmin ≤x ≤xmax F(x)
1
离散型随机变量可以定义累积分布函数
性质：
1、0 ≤F (x) ≤1, x ≤x ≤x
min max
2、F(xmin)=0, F(xmax) = 1 x x x
min max
3 、若x x , 则F(x )F(x ), 即F(x)是单调升函数
1 2 1 2
4、p (x ≤x ≤x ) F (x ) −F (x )
1 2 2 1
1
x +
n
′ ′
5、F (x ) −F (x ) lim 1 p(x )dx 0，即x取特定值的几率为0
+ − n→∞∫x −
f(x) F(x)
1
1/360
0 360 ° x 0
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