关于原根存在的几个充要条件杭州师范大学学报.PDFVIP

杭州师范学院学报(自然科学版) 第 3 卷第 5 期 Vo l. 3 No. 5 2004 年 g j] Journal 01 Hangzhou Teachers College(Natural Science Edition) Sep. 2004 文章编号: 1008- 9403(2004)05 一0364-03 关于原根存在的几个充要条件 瞿维建 (杭州师范学院理学院，浙江杭州1 310(12) 摘 要:建立-关于模 m 原根存在的几个充要条件，分别从不同的角度揭示了当模 m 存在原根时所具有的 今岭中;质特性. 关键词原根;威尔逊定理;二次剩余;二次剩余的欧拉判别法 中图分类号:0156.1 文献标识码:A 在通常的数论教科书中Il~ 汀，都可以找到下面的关于模 m 原根存在的充要条件 定理 1 设 m 二三 2 ，模 m 存在原根的充要条件是 m 2 ， 4 ， 户α 或 2户α( 其中户为奇素数，α 二三1). 证明 详见文[2J~! 川 此定理的结论虽然简单明了，但由于缺乏模 m 存在原根的其他方面特性的沟通.在应用上显得不尽 方便.文章将给出下面的关于模 m 存在原根的几个充要条件，它们分别从不同的角度揭示了当模 m 存在 原根时所具有的一些本质特性，从而提高了应用上的灵活性. 定理 2 设 m 二三 3 ，模斤1 存在原根的充要条件是同余方程 x2 1(mod rn) 恰有两解(mod m). 证明 如果模m 存在原根g ， 那么 gl ，矿，… ， gP 川构成模m 的简化剩余系.设 T - g (mod m) (1 ~ r 2 c:;;. ((J( 月1)) 是同余方程 x - 1(mod m) 的解，则有矿， lC mod m) ， 由此推得 ψ(m)!2r ， 又 m 二三 3. 知 ((J(m) ((J (m) -I-f... ~R ((J (m) 2 是偶数.于是有 r ， 故f导 r 吱伊(m) ， 所以同余方程 x _ l(mod 171) 恰有两解 x g与己或 2 2 8科川)(mod m). 反之.如果同余方程x -l(mod m) 恰有两解(mod 11仆，设 m 扩户1;1 户;2 …抖，那么间余方程 1 1 1(mod 111) 的解数为 2 当走 =0 或 1 时 ( )