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章节 第五章 定积分 §1 定积分的概念与性质 课时 2 教 学 目 的 掌握定积分的概念，性质及中值定理 教学 重点 及 突出 方法 定积分的概念，性质及中值定理 教学 难点 及 突破 方法 定积分的概念，性质及中值定理 相关 参考 资料 《高等数学（第一册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社 《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社 教 学 过 程 教学思路、主要环节、主要内容 我们先来看一个实际问题———求曲边梯形的面积。? 设曲边梯形是有连续曲线y=f(x)、x轴与直线x=a、x=b所围成现在计算它的面积A.我们知道矩形面积的求法，但是此图形有一边是一条曲线，该如何求呢？? 我们知道曲边梯形在底边上各点处的高f(x)在区间[a,b]上变动，而且它的高是连续变化的，因此在很小的一段区间的变化很小，近似于不变，并且当区间的长度无限缩小时，高的变化也无限减小。因此，如果把区间[a,b]分成许多小区间，在每个小区间上，用其中某一点的高来近似代替同一个小区间上的窄曲变梯形的变高，我们再根据矩形的面积公式，即可求出相应窄曲边梯形面积的近似值，从而求出整个曲边梯形的近似值。? 显然：把区间[a,b]分的越细，所求出的面积值越接近于精确值。为此我们产生了定积分的概念。定积分的概念?? 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点 a=x0x1...xn-1xn=b 把区间[a,b]分成n个小区间[x0，x1]，...[xn-1,xn],?在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi),作函数值f(ξi)与小区间长度的乘积f(ξi)△xi并作出和，如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I，? 这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分 记作。 即：? 定理（1）：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积。????? （2）：设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。 如果我们对面积赋以正负号，在x轴上方的图形面积赋以正号，在x轴下方的图形面积赋以负号，则在一般情形下，定积分的几何意义为：它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线x = a、x = b之间的各部分面积的代数和。 定积分的性质? 性质(1)：函数的和(差)得定积分等于它们的定积分的和(差.?????????? 即：? 性质(2)：被积函数的常数因子可以提到积分号外面.?????????? 即：? 性质(3)：如果在区间[a,b]上，f(x)≤g(x)，则≤? （ab）? 性质(4)：设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值，则 m(b-a)≤≤M(b-a)? 性质(5)：如果f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一点ξ，使下式成立：????????? =f(ξ)(b-a) 注：此性质就是定积分中值定理。 章节 第五章 定积分 §2微积分的基本公式 课时 2 教 学 目 的 掌握微积分的基本公式 教学 重点 及 突出 方法 利用微积分的基本公式求定积分 教学 难点 及 突破 方法 变上限的积分求导公式 相关 参考 资料 《高等数学（第一册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社 《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社， 教 学 过 程 教学思路、主要环节、主要内容 积分上限的函数及其导数 ? 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且设x为[a,b]上的一点.现在我们来考察f(x)在部分区间[a,x]上的定积分,我们知道f(x)在[a,x]上仍旧连续，因此此定积分存在。? 如果上限x在区间[a,b]上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在[a,b]上定义了一个函数，记作φ(x): ? 注意：为了明确起见，我们改换了积分变量（定积分与积分变量的记法无关）? 定理(1)：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限的函数在[a,b]上具有导数，并且它的导数是? （a≤x≤b）? (2)：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数就是f(x)在[a,b]上的一个原函数。? 注意：定理（2）即肯定了连续函数的原函数是存在的，又初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系。 牛顿－莱步尼兹公式定理　如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则 　。 　(1) 证　已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，又根据前