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数列问题的解题思想方法 1、能利用与的关系解有关问题 　　根据数列的前项和的定义，有， 例1、已知数列的前项和，求数列的通项公式。 解：， 当时，。 注意：1、只有在时才成立。 2．用递推的方法求某些数列的通项公式 例3 已知数列其中，且当n≥3时， （1）求数列的通项公式； （2）求。 （1986年全国文科高考试题） 解（1）设，则有且。∴数列是以公比，为首项的等比数列，∴ ∴将上述n-1个式子相加，得 说明：通过换“元”构造一个等差或等比的新数列，然后用等差或等比数列知识解决问题。即“辅助数列法”，是求数列通项公式的一种常用方法。 本例也可用“归纳、猜想、证明”方法求得 3．用拆项方法求某些数列的和 某些数列是等差数列、等比数列的和或差的形式，求这些数列的和，通过拆项转化力求若干个等差数列或等比数列的和。 例5．一个数列，当n为奇数时，=5n＋1，当n为偶数时, 。求这个数列的前2m项和。 （1988年全国高考题） 分析 数列是一个等差数列与一个等比数列的和，可用拆项方法求得。 解 ∴是公差为10，首项为6的等差数列。 又 是公比为2，首项为2的等此数列。 4．用函数的性质解某些数列综合题 ： 因为数列是定义在自然数集或其有限子集上的函数，所以我们能用函数的性质来解有关数列综合题。 例6．设等差数列的前n项和为，已知 （1）求公差d的取值范围。 （2）提出…，中哪一个值最大，并说明理由。 （1992年全国高考题） 分析 等差数列的前n项和是关于n的二次函数，利用二次函数的最值求的最值。 解（1） 用①分别代入②、③，得 （2） 说明：本例求的最大值的另一种解题思路：由d＜0，得，若中存在nN，使得，则是…·中最大者。由题意可推得： 最大。 5.用证明不等式的基本方法解某些数列综合题 例7． 已知： 试证：数列或者对任意自然数n都满足，或者对任意自然数n都满足。 （1986年全国理科高考试题） 分析 只要证明即可。 证明 由于，由数列的定义可知， 的符号相同。 ①假设＜1，我们用数学归纳法证明，（nN） 显然，n=1时， 设n=k时，成立，那么当n=k十1时，有 因此，对一切自然数n都有， 从而对一切自然数n都有。 ②若假设，同理可证，对一切自然数n都有 说明：因为数列是定义在自然数集或其有限子集上的一种特殊的函数f（n），数列的通项公式就是函数f(n)解析式，所以，如同研究函数性质一样，能用综合知识和方法研究数列的增减性，有界性等性质。 例8．设是由正数组成的等比数列，是其前n项和。 证明 是否存在常数c0,使得 成立，并证明你的结论。 （1995年全国高考试题） 分析要证明（1），只要证明即可，作差比较。 证明（1）设的公比为q,由题设知＞0，q＞0。 当q＝1时，。 当q1时， 根据对数函数的单调性，知 （2）解 不存在。 ［证」：假设存在常数c＞0，使 则有 由④得， 根据平均值不等式知 ∵ C＞0，故⑤式右端非负，而由（1）中证明知，⑤式左端小于零，矛盾。 故不存在常数c＞0，使。 说明：对于“是否存在…”这类讨论性问题，通常的解法首先是假设“存在……”然后通过推理、计算，可能得出两种结果：1.若求出了所问的对象，且每步推理是可逆的，则结论是“存在”2。若得出各类矛盾的结果，这恰是反证法思想，则结论是“不存在”。 6．用待定系数法与数学归纳法解某些数列综合题 例9．是否存在常数a、b、c使得等式 对一切自然数n都成立？并证明你的结论。 （1989年全国高考试题） 分析 首先假设存在a、b、c，由于等式对一切自然数成立，因此对特殊的自然数等式一定成立。需待定三个字母a、b、c，的值，所以令n=1，2，3，得出关于a、b、c的三元方程组，求出a、b、c再用数学归纳法证明，对一切自然数n邯成立。 解 假设存在a、b、c使等式成立。 令n=1，2，3，得 解方程组，得a=3，b=11，c＝10。 于是，对n=1，2，3下面等式成立： 1·2＋2·3十…十n(n＋1) 设n＝k时上式成立，即 ∴n=k＋1时，等式也成立。 综上所述，当a=3，b=11，c=10时，等式对一切自然数n成立。 说明：先由特殊值法得出a、b、c，再用数学归纳法证明一般情况都成立，这是很重要的归纳思维方法。 本题也可用拆项的方法， 即存在a=3，b=11,c=10。 但对于这两个数列求和在教学与高考、会考中是不作要求的。所以拆项法不是高考命题者的本意。 7．用无穷递缩等比数列求综合问题 例10 如图，已知△AOB中，OA=b，OB=a，∠AOB＝0（a≥b, 是锐角），作⊥OB，∥BA；再作⊥OB，∥BA;如此继续作下去。设△、△,…的面积为,…，求无穷数列…的和。 （1982年全国高考题） 分析由相似三角形的性质得出数列，再求和。 解