初高等网络交汇处数学问题.docVIP

?初高等网络交汇处的数学问题 ? 　　初高等网络交汇处的数学问题具有起点高、落点低、背景新、方法活和能力要求高的特点.它们大多来源于高等数学，但解决的知识是中学所学习的初等知识，它对学生数学语言信息的收集、理解、转化、表述、探究和调控能力要求较高，是考查数学创新能力的有效手段，是模式化训练“题海战术”所不能及的.所以，它经常被高考所采用.下面，对此类问题进行归类、解析. 　　一、与知识背景相交汇 　　例1 已知函数，当f(x)=tanx，x∈(0,)，，且，证明. 　　分析 本题是以高等数学中的函数凹凸性为知识背景，以三角函数为知识载体，通过对正切函数和不等式的引入，使函数的凹凸性的如下性质得以充分体现： 　　若函数y=f(x)在[a,b]上是下(或上)凸的，则有以下数式性质： 　　当x1,x2∈[a,b]且x1≠x2时， 　　 　　(或)； 　　和几何特征：连接函数y=f(x)上的两点P(x1,y1)，Q(x1,y2)的线段的中点M位于横坐标为的曲线y=f(x)上的点N的上(或下)方. 　　证明 因为，， 　　　　 所以2sin(x1+x2)＞0，cosx1cosx2＞0， 　　　　 且0＜cos(x1-x2)＜1， 　　　　 从而有0＜cos(x1+x2)+cos(x1-x2)＜1+cos(x1+x2)， 　　　　 由此得， 　　　　 即， 　　　　 所以. 　　例2 定义在R上的任意函数f(x)都可以表示为一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，如果f(x)=lg(10x+1)，x∈R，那么(　　) 　　A.g(x)=x，h(x)=lg(10x+10-x+2) 　　B.， 　　C.g(x)=， 　　D.g(x)=-， 　　分析 本题的条件直接给出了高等数学的一个命题：定义域关于原点对称的任意函数f(x都可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和的形式，然后给出了该命题的一个特例.解决此题时，应先从条件入手，理解题意，明确解题方向，通过对四个选项的筛选、运算和排除，可选出正确答案为C. 　　例3 设a＞0，实数x,y,z满足x+y+z=a，.求证0≤x,y,z≤. 　　分析 本题的知识背景是高等数学中空间解析几何问题，x+y+z=a表示过三点(0,0,a)，(0,a,0)，(a,0,0)的平面，表示与坐标原点距离为的点(x,y,z)应满足的条件，即以O为球心，为半径的球.如把已知方程中的z视为已知数，将其分别看成平面直角坐标系中的直线和圆，构造一个直线和圆有公共点的图形，初等方法就可以解决了. 　　证明 将已知两方程分别化简为x+y=a-z，.因为此两式同时成立，所以在平面直角坐标系中，直线x+y=a-z和圆有公共点(即相交或相切)，于是圆心(0,0)到直线x+y=a-z的距离不超过半径，即，将该式化简得，即z(3z-2a)≤0，解得. 　　同理可证，， 　　所以0≤x,y,z≤. 　　二、与语言叙述相交汇 　　例4 数学中有如下规定：满足A1∪A2=A，则称(A1,A2)为集合A的一个分拆，当且仅当A1=A2时，(A1,A2)与(A2,A1)为集合A的同一分拆，则集合A={1,2,3}的不同分拆种数是(　　) 　　A.27　　　　　　B.26　　　　　　C.9　　　　　　D.8 　　分析 本题以高等数学的语言叙述形式对新概念“分拆”进行定义，同时引进新符号(A1,A2)，将集合中的运算赋予了先后顺序，既考查了集合，又涉及到了排列，题型新颖，内容丰富.通过对题中信息的理解，可以应用分类的思想将问题解决. 　　解 当A1=φ时，A2=A，有1种情形； 　　　　当A1中有1个元素时，A2中有2个或3个元素，有6种情形； 　　　 当A1中有2个元素时，A2中有2个或3个元素，有6种情形；　　 　　　 当A1中有3个元素时，A2中有3个元素，有1种情形. 　　考虑到前3类中的A1与A2可以互换，故共有27种分拆.所以选A. 　　例5 设绝对值小于1的全体实数的集合为S.在S中定义一种运算*，使得a*b=. 　　(1)证明：若a,b∈S，则a*b∈S； 　　(2)证明：结合律(a*b)*c=a*(b*c)成立. 　　分析 本题是以高等数学语言习惯定义一种新运算，并将集合语言融入，来让学生证明结合率，使得问题变得新颖，有创意，能力要求较高. 　　解 (1)要证明，若a,b∈S，则a*b∈S，即证明：当-1＜a＜1，-1＜b＜1时，有-1＜＜1成立，也就是证成立.此式易用作差比较法证明(证明略). 　　(2)两次用条件中的公式a*b=分别得： 　　(a*b)*c=*c 　　, 　　a*(b*c)=a* 　　, 　　所以有(a*b)*c=a*(b*c). 　　三、与推理方法相交汇 　　例6 在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边