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數學傳播 32 卷 2期, pp. 3-12
從刻 卜勒到牛頓
一一千古迷題破解日 萬有引力發現時
項武義 · 張海潮
一、 導言
1609年, 刻 卜勒 (1571∼1630) 出版 「新天文學」(Astronomia Nova), 提出行星繞太陽
運行的橢圓律和面積律:
(一) 橢圓律: 行星繞 日的軌道是橢圓, 太陽位居橢圓的一個焦點。
(二) 面積律: 行星與太陽的連線段在等長的時間掃過相同的面積。
1618年, 刻 卜勒又出版 「世界的和諧」(Harmonice Mundi), 並提出週期律:
3
a
(三) 週期律: 行星繞行太陽一周所需的時間 T 和行星軌道的半長軸 a, 滿足 T 2 為定值,
與個別的行星無關。
刻 卜勒提出的這三大行星律導致牛頓發現萬有引力-引力存在於任意兩個質點之間, 其大
小為
M M
1 2
F = G
2
O O
1 2
式中, M 、 M 分別是兩質點的質量, O O 是兩質點之間的距離, G 是萬有引力常數。
1 2 1 2
牛頓在刻 卜勒提出行星律 70 年後, 於 1687 年出版 「自然哲學之數學原理」(Philosophiae
Naturalis Principia Mathematica), 書中詳細的說明了如何以數學的論證, 從三大行星律得
出萬有引力定律, 但是由於牛頓的證明過分複雜, 不容易理解; 我們因此在本文中提出比較簡潔
的論證, 希望能清楚的交代行星律與萬有引力之間的關係。 在證明之中, 我們將充分利用橢圓的
光學性質, 又因為位置函數對時間的微分是速度, 速度函數對時間的微分是加速度, 所以我們還
d sin θ d cos θ dv dv dθ
要用到一點基本的微分公式, 例如 = cos θ, = − sin θ, 連鎖規則 =
dθ dθ dt dθ dt
d dx dy
以及萊布尼茲規則 (xy) = y + x 等等, 希望本文的處理方式能讓學過一點微積分的
dt dt dt
3
4 數學傳播 32 卷 2期 民 97 年 7 月
高中同學可以讀懂。 附帶一提的是本文經常沿用牛頓的習慣, 用一點代表對時間的微分, 例如
2
dx d x dθ ˙
x˙ = dt , x¨ = dt2 , dt = θ
二、 面積律等價於加速度向量指向太陽
如圖 (一):
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