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第12章 机械振动 习题及答案 1、什么是简谐振动？哪个或哪几个是表示质点作简谐振动时加速度和位移关系的？ （1） ；（2） ；(3) ；(4) . 答：系统在线性回复力的作用下，作周期性往复运动，即为简谐振动。 对于简谐振动，有 ,故（3）表示简谐振动。 2、对于给定的弹簧振子，当其振幅减为原来的1/2时，下列哪些物理量发生了变化？变化为原来的多少倍？ （1）劲度系数；（2）频率；（3）总机械能；（4）最大速度；（5）最大加速度。 解：当 时， （1）劲度系数k不变。 （2）频率不变。 （3）总机械能 （4）最大速度  (5) 最大加速度  和的两根弹簧，与质量为的小球按题图所示的两种方式连接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期． 解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有，设串联弹簧的等效倔强系数为等效位移为，则有 又有 所以串联弹簧的等效倔强系数为 即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为的弹簧振子系统，故小球作谐振动．其振动周期为 (2)图(b)中可等效为并联弹簧，同上理，应有，即，设并联弹簧的倔强系数为，则有 故 同上理，其振动周期为 4. 完全相同的弹簧振子， 时刻的状态如图所示，其相位分别为多少？ 解：对于弹簧振子，时， , （a） ,故 ，故 （b） ，故 ，故 （c） ，故 ，故 （d） ,故 ，故 ，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为，，滑轮的转动惯量为，半径为。先把物体托住，使弹簧维持原长，然后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期． 解：分别以物体和滑轮为对象，其受力如题轴正向，则当重物偏离原点的坐标为时，有 ① ② ③ 式中，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有 令 则有 故知该系统是作简谐振动，其振动周期为 6、质量为的小球与轻弹簧组成的系统，按的规律作谐振动，求： (1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值； (2)最大的回复力、振动能量，在哪些位置上动能与势能相等? 解：(1)设谐振动的标准方程为，则知： 又 (2) 当时，有， 即 ∴ 7、一个沿轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为，周期为，其振动方程用余弦函数表示．如果时质点的状态分别是： (1)； 处向负向运动； (4)过处向正向运动． 试求出相应的初位相，并写出振动方程． 解：因为 将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有 8. 物体沿x轴作简谐振动，在时刻，其坐标为 ,速度,加速度 ,试求： （1）弹簧振子的角频率和周期； （2）初相位和振幅。 解：设 ，则时 (1) (2) cm 9、两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在 处，且向左运动时，另一个质点2在 处，且向右运动。求这两个质点的相位差。 解：由旋转矢量图可知，当质点1在处，且向左运动时，相位为； 而质点2在处，且向右运动，相位为（如图）。所以他们的相位差为。 的物体作谐振动，振幅为，周期为，当时位移为．求： (1)时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向； (2)由起始位置运动到处所需的最短时间； (3)在处物体的总能量． 解：由题已知 ∴ 又，时， 故振动方程为 (1)将代入得 方向指向坐标原点，即沿轴负向． (2)由题知，时，， 时 ∴ (3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为 11、图为两个