向量代数空间解析几何相关概念和例题.docVIP

空间解析几何与向量代数 向量及其运算 目的：理解向量的概念及其表示；掌握向量的运算，了解两个向量垂直、平行的条件；掌握空间直角坐标系的概念，能利用坐标作向量的线性运算； 重点与难点 重点：向量的概念及向量的运算。难点：运算法则的掌握 过程： 一、向量 既有大小又有方向的量称作向量 通常用一条有向线段来表示向量. 有向线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向. 向量的表示方法有两种( 、 向量的模：. 向量、的模分别记为、. 单位向量： 1的向量叫做单位向量. 零向量： 0的向量叫做零向量, 记作.规定：方向可以看作是任意的. 相等向量：方向相同大小相等的向量称为相等向量 平行向量（亦称共线向量）： , 就称这两个向量平行.记作a // b.规定： 零向量与任何向量都平行. 二、向量运算 向量的加法 向量的加法( 设有两个向量a与b, 平移向量b的起点与a的终点重合, 此时从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和, 记作a+b, 即c(a+b . 当向量a与b不平行时, 平移向量a与b的起点重合( 以a、b为邻边作一平行四边形, 从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a+b. 向量的减法( 设有两个向量a与b, 平移向量b的起点与a的起点重合, 此时连接两向量终点且指向被减数的向量就是差向量。 ( 2、向量与数的乘法 向量与数的乘法的定义( 向量a与实数(的乘积记作(a, 规定(a是一个向量, 它的模|(a|=|(||a|, 它的方向当(0时与a相同, 当(0时与a相反. (1)结合律 (((a)=(((a)=((()a； (2)分配律 ((+()a=(a+(a； ((a+b)=(a+(b. 例1　在平行四边形ABCD中, 设=a, =b. 试用a和b表示向量、、、, 其中M是平行四边形对角线的交点. 解 ：a+b于是 (a+b). 因为, 所以(a+b). 又因-a+b, 所以(b-a). 由于, 所以(a-b). 定理1 设向量a ( 0, 那么, 向量b平行于a的充分必要条件是( 存在唯一的实数(, 使 b = (a. 三、空间直角坐标系 过空间一个点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点。这三条数轴分别叫做x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称为坐标轴。三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面。其中x轴与y轴所确定的平面叫做xOy面，y轴与z轴所确定的平面叫做yOz面，z轴与x轴所确定的平面叫做zOx面。三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做卦限。含x轴、y轴、z轴正半轴的那个卦限叫做第I卦限，其它第Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限，在xOy坐标面的上方，按逆时针方向确定。第Ⅴ到第Ⅷ卦限分别在第Ⅰ到第Ⅳ卦限的下方（如图）。 设P为空间一点，过点P分别作垂直x轴、y轴、z轴的平面，顺次与x轴、y轴、z轴交于PX，PY，PZ，这三点分别在各自的轴上对应的实数值x，y，z称为点P在x轴、y轴、z轴上的坐标，由此唯一确定的有序数组（x，y，z）称为点P的坐标。依次称x，y和z为点P的横坐标、纵坐标和竖坐标，并通常记为P（x，y，z）。 坐标面上和坐标轴上的点, 其坐标各有一定的特征. 例如( 点M在yOz面上, 则x(0( 同相, 在zOx面上的点, y(0( 在xOy面上的点, z(0. 如果点M在x轴上, 则y(z(0( 同样在y轴上,有z(x(0( 在z轴上 的点, 有x(y(0. 如果点M为原点, 则x(y(z(0. 四、利用坐标作向量的线性运算 对向量进行加、减及与数相乘，只需对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算 利用向量的坐标判断两个向量的平行( 设a=(ax, ay, az)(0, b=(bx, by, bz), 向量b//a(b=(a , 即b//a((bx, by, bz)=((ax, ay, az), 于是. 例2求解以向量为未知元的线性方程组, 其中a=(2, 1, 2), b=(-1, 1, -2). 解 如同解二元一次线性方程组, 可得 x=2a-3b,　 y=3a-5b . 以a、b的坐标表示式代入, 即得 x=2(2, 1, 2)-3(-1, 1, -2)=(7, -1, 10), y=3(2, 1, 2)-5(-1, 1, -2)=(11, -2, 16). 例3已知两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)以及实数((-1( 在直线AB上求一点M, 使. 解 设所求点为M (x, y, z)