函数functions与模型models.PDF

函數(functions)與 1 模型(models) Copyright © Cengage Learning. All rights reserved. 1.2 數學模型及常見的重要函數 Copyright © Cengage Learning. All rights reserved. 數學模型 數學模型是以數學的方式（例如使用函數或方程式）進行對 真實世界現象的描述，如討論人口數目、對產品的需求、自 由落體的速度、化學反應中化合物的濃度、個人壽命的期望 值或者減少廢氣排放的花費。 建立數學模型，目的就是幫助我們了解這些現象，甚至可能 可以對未來行為做出預測。 33 數學模型 下圖一描述了數學建模的歷程。 真實現象 與問題 構造建模 數學模型 解題、分析 結論 應用、解釋 預測 反覆試驗 數學建模的過程 圖一 44 數學模型 當然，數學模型並不能完全精確地表現出我們想要探討的問 題，通常多是理想化的情況。然而一個好的模型就是能夠經 過簡化真實狀況，方便我們計算而最後得到精確度尚準的有 用結論。 因此重要的是，數學模型能實現或逼近到如何的真實情況， 最終仍需要交由自然世界來檢驗。 在這些模型當中我們發展出許多不同種的函數用以表現這個 世界中的某些定律或者關係，在接下來的課程中我們將會討 論這些函數的行為，以及跟它們相關的模型。 55 線性模型 66 線性模型 我們說y 是x 的線性函數(linear function) ，表示y 對x 的函 數圖形在座標平面上是一條直線。 利用點斜式我們可以直接將函數的式子寫下： y = f(x) = mx + b 其中m 為斜率，n 為y 軸截距。 77 線性模型 線性函數的特徵便是成長的速率是固定的。 下圖二為線性函數f(x) = 3x – 2 的圖，表格中列舉函數部分 的值。 圖二 88 線性函數 注意到表格中所取樣的樣點，x 每增加0.1 ，f(x) 的值便會 增加0.3 。 因此f(x) 增加的速度是x 增加的三倍。所以我們也可以知道， 直線的斜率，也即是f(x) 對x 的變化率。 99 範例一 (a) 乾燥的空氣上升後會擴散並漸漸冷卻。假設地表溫度為 攝氏二十度，距地表一公里高處的溫度為攝氏十度，假設 溫度對高度的變化是線性模型，試寫下溫度T (單位為度)