天津科技大学李伟版高等数学第一章习题答案.docVIP

习题1—1（A） 1．判断下列论述是否正确？并说明理由： （1）有理数集是实数集的子集，但不能说实数集是实数集的子集，因为一个集合的子集所含的元素一定比该集合所含的元素“少”； (2) 由于函数的图像与其反函数的图像是同一条曲线，因此这两个函数实际是同一个函数； 若将函数复合为复合函数函数的值域必须为 函数的定义域； 函数在点集上有界的充分必要条件是它在上有最大值与最小值； 过函数定义域内的任意一点做轴的垂线，该垂线与函数的图形必交于且只交于一点； 函数是其定义域内无界函数． 答：（1）不正确．集合本身也是其子集． （2）不正确．如与是不同的函数，前者是指数函数，后者是对数函数． （3）不正确．如，复合为，函数的值域为全体实数，而函数的定义域为全体正实数． （4）不正确．在上有最大值与最小值是在上有界的充分条件，不是必要条件，如在内有界，但是没有最大值与最小值． （5）正确．函数定义决定的． （6）正确．事实上，，取，． 2．若集合，用区间表示集合． 解：由，或，得，所以； 由得或，所以； 由，及，得或，所以． 3．若函数，求． 解： ． 4．设函数 求． 解：因为在范围内，所以； 因为在范围内，所以； 因为在范围内，所以； 因为在范围内，所以． 5．若函数的定义域为，求函数的定义域． 解：由，得的定义域为； 由，有；得的定义域为； 由，有得的定义域为． 6．下列各题中，各对函数是否为同一函数？为什么？ （1）与； （2）与； （3）与； （4）与． 答：（1）是，（）． （2）不是，前者定义域为，后者定义域为． （3）不是，前者定义域为，后者定义域为全体实数． （4）不是，前者在时，前者对应法则为，后者为． 7．若所涉及的函数都在内有定义，证明 （1）两个偶函数之和是偶函数，两个奇函数之和是奇函数； （2）两个偶（奇）函数之积是偶函数，一个偶函数与一个奇函数之积是奇函数． 证明：设分别是定义在的偶函数；分别是定义在的奇函数． （1）设；， ，所以是偶函数； ，所以是奇函数． （2）设， ，所以是偶函数； ，所以是奇函数． 8．判断下列函数的奇偶性： （1）； （2）； （3）； （4）． 答：（1）奇函数，由奇偶函数的四则运算性质． （2）偶函数，由复合函数运算性质，若是偶函数，则是偶函数． （3）奇函数，若在有定义，则一定是偶函数，一定是奇函数，本题属于后者． （4）奇函数，的定义域为，且． 9．证明函数是内的奇函数． 证明：因为 ， 所以是内的奇函数． 10．在下列函数中哪些是周期函数？如果是周期函数，指出其最小正周期： （1）； （2）； （3）； （4）． 答：（1）是，若得最小正周期是，则得最小正周期是，． （2）是，同上，，． （3）是，，． （4）不是，一个周期函数与一个非周期函数的和（差）一定是非周期函数． 11．求下列函数的反函数： （1）； （2）； （3）； （4）． 解：先反解的表达式，再将变量与互换． （1）由，得，反函数为． （2）由，得 反函数为． （3）由，有，得 反函数为． （4）由，得，因为，所以， 反函数为． 12．在下列各题中，写出由所给函数复合而得的复合函数： （1）； （2）； （3）； （4）． 解：（1）将代入到中，得复合函数． （2）将代入到中，得复合函数． （3）将代入到中，得复合函数． （4）将代入到中，得，将再代入到中， 得复合函数． 13．将下列复合函数分解为基本初等函数或基本初等函数的四则运算： （1）； ； （2）； （3）； （4）． 解：（1）． （2）． （3）． （4）． 14．某厂生产的产品1000吨，定价为130元/t．当出售量不超过700吨时，按原定价出售；超过700吨的部分按原价的九折出售，试将销售收入表示成销售量的函数． 解：设是销售量，是销售收入， 当时，； 当时，，所以 15．某种品牌的电视机每台售价为1500元时，每月可销售2000台，每台售价为1300元时，每月可多销售400台．试求该电视机的线性需求函数． 解：设是销售量，是每台售价，由题意，有， 将时，；时，代入，得， 所以，． 16．证明下列各