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实验四 傅里叶级数 实验的目的 Matlab语言没有直接提供求解傅立叶(Fourier)系数与级数的现成函数。本节实验主要让学生独立编写出傅立叶(Fourier) 级数的求解函数。进一步理解掌握利用Matlab进行级数运算的方法和提高实验技能。 实验的基本理论与方法 1、三角函数系 4-7） 在区间上正交，即指在三角函数系4-7）中任何不同的两个函数的乘积在区间上的积分等于零。 2、函数展开成傅立叶级数 设是周期为的周期函数，且能展开成三角级数： 4-8） 其实就是要求出其中的系数和，根据三角函数系的正交性，我们可以得到它们的计算公式如下： ， ， 4-9） ， 如果公式4-9）中的积分都存在，这时它们定出的系数叫做函数的傅立叶系数，将这些系数代入4-8）中，所得三角级数 4-10） 叫做函数的傅立叶级数。 3、奇函数和偶函数的傅立叶级数 当周期为的奇函数展开成傅立叶级数时，它的傅立叶系数为 4-11） 当周期为的偶函数展开成傅立叶级数时，它的傅立叶系数为 4-12） 以上说明，如果为奇函数，那么它的傅立叶级数是只含有正弦项的正弦级数 4-13） 如果为偶函数，那么它的傅立叶级数是只含有余弦项的余弦级数 4-14） 4、周期为2l的周期函数的傅立叶级数 设周期为的周期函数满足收敛定理的条件，则它的傅立叶级数展开式为： 4-15） 其中系数为 4-16） 如果为奇函数，则有 4-17） 其中系数 4-18） 如果为偶函数，则有 4-19） 其中系数 4-20） 实验使用的函数与命令 1、积分指令int( )； 2、矩阵的点乘积； 3、了解在设计Matlab绘图时的图形标注函数及其功能。 实验指导 例1 求函数在上的傅立叶级数。 解：由前文知，将一个函数展开为傅立叶级数： 其实就是要求出其中的系数和，根据三角函数系的正交性，我们可以得到它们的计算公式如下： ， ，， 这样，结合Matlab的积分命令int( )就可以计算这些系数，从而就可以进行函数的傅立叶展开了。下面给出Matlab的程序，程序中先求出傅立叶系数a=(a0,a1, a2,…), b=(b1, b2,…)，然后利用系数写出该函数的傅立叶级数。该程序为.M文件。程序如下： syms x; k=3; % k为需要展开的相数 f=x; % f为需要展开的函数 a0=int(f,x,-pi,pi)/pi; for n=1:k a(n)=int(f*cos(n*x),x,-pi,pi)/pi; %求出傅立叶系数a=( a1, a2,…), b(n)=int(f*sin(n*x),x,-pi,pi)/pi; %求出傅立叶系数b=(b1, b2,…) end for n=1:k co(n)=cos(n*x); %傅立叶级数的余弦项 si(n)=sin(n*x); %傅立叶级数的正弦项 end f=co.*a+si.*b; g=0; for n=1:k g=f(n)+g; end f=a0+g %求出傅立叶级数 运行输出结果为 f = 2/3*sin(3*x)-sin(2*x)+2*sin(x) 当k改为5，则输出结果 f = 2/5*sin(5*x)-1/2*sin(4*x)+2/3*sin(3*x)-sin(2*x)+2*sin(x) 当k改为5，则输出结果 f = -1/5*sin(10*x)+2/9*sin(9*x)-1/4*sin(8*x)+2/7*sin(7*x)-1/3*sin(6*x)+2/5*sin(5*x)-1/2*sin(4*x)+2/3*sin(3*x)-sin(2*x)+2*sin(x) 为了能够直观的展示傅立叶级数的效果，将展为3、5、10项的效果图绘制出来。其M文件的Matlab代码如下，效果图为图