哈工大著名老师田波平课件2——概率论与数理统计-刘星斯维提整理.ppt

第二章 条件概率与独立性 §2-1条件概率 乘法原理 引子：直到现在，我们计算事件的概率是在样本空间已知的情况下进行的，即除了样本空间（一组固有条件）外得不到其它试验信息。但是，有时知道一个事件H发生了。当陈述与之有关另一事件A的结果时，怎样使用这个信息呢？ 例1 考虑有两个孩子的家庭，假设男女出生率一样，则两孩子性别（依大小排列）S={(B,B),(B,G),(G,B),(G,G)}且每一个基本事件发生是等可能的。若任选一家庭至少有一个女孩子事件H发生了。求此家庭有一男一女事件A的概率。 解：P(A)= ， P(H)= P(A|H) = 例2．设甲袋中装了4个白球2个黑球，乙袋中装了4个黑球，2个白球。掷一枚质量均匀硬币，若正面朝上（H），便从甲袋中随机取一个球；否则（T）从乙袋中随机地取一球。设E0表示取出黑球事件,若已知H信息条件下，求E0发生的概率。 解：S={HW11,HW12,HW13,HW14,Hb11,Hb12, TW21,TW22,Tb21,Tb22,Tb23,Tb24} P(E0)=P{Hb11,Hb12,Tb21,Tb22,Tb23,Tb24}= P(H)= P(HE0)=P{Hb11,Hb12}=2/12 Note：对于 ， 这样才满足古典概型E条件；不难构造反例（只需把例2两袋球对称结构破坏即可！） 例3．考虑E：向有界区域（S）内均匀地掷随机点，事件A表示随机点落在区域A中，事件B表示随机点落在区域B中,这是几何概型随机试验E。求P(A|B) 解：P(A)=L(A)/L(S) P(B)=L(B)/L(S) P(AB)=L(AB)/L(S) P(A|B)=L(AB)/L(B)= =P(AB)/P(B) Note：上述古典概型和几何概型例中适用规律在一般情况下不能用纯数学逻辑推导出来，我们需要用此比值P(A|B)作为条件概率定义。（例统计条件概率） 定义1 (P(B)0)设A、B为任意两个事件，且P(B)0，则称比值P(AB)/P(B)为事件A在事件B发生的条件下的条件概率，记为P(A|B) 由事件发生的频率概念亦可类似地引出条件频率，从而与第一章方法与思路类似，我们引入概率的三条公理。 定理1，条件概率P(A|B)=P(AB)/P(B) (P(B)0)满足公理1~3 。 (1) 1≥P(A|B)= (2) P(S|B)=P(SB)/P(B)=1 (3) 设A1，A2， …互不相容，则A1B，A2B，…，AnB，…也互不相容，因此 P{(A1+A2+…+An+…)|B} =P{(A1+…+An+…)B}/P(B) =P(A1B+A2B+…+AnB+…)/P(B) =P(A1|B)+P(A2|B)+… Note：条件概率如同（古典、几何）概率一样满足： (4) (5) P (6) 若A1 A2则P(A1|B)≤P(A2|B) P((A2－A1)|B))= P(A2|B) － P(A1|B) (7) P(A1∪A2|B) = P(A1|B) + P(A2|B)－P(A1A2|B) 当B=S时 P(A|S)=P(A) 关系：条件概率可当作无条件概率的一般形式，事件概率有条件！ 下面观察公式：P(A|B)= (P(B)0) P(AB)=P(B)P(A|B) (P(B)0) P(AB)=P(A)P(B|A) (P(A)0) 具有重要理论与实际意义 定理2（乘法原理）若A，B为两个事件， P(A)0, P(B)0 则 P(AB)=P(A)P(B|A) (P(A)0) P(AB)=P(B)P(A|B) (P(B)0) 定理3 设A1，A2，…,An为n 个事件， P(A1 …An-1)0, 则有： P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) …P(An|A1…An-1) 证由于 P(A1)≥P(A1A2) ≥… ≥P(A1A2…An-1)0 因此右边= 例4 包装了的玻璃器皿第一次扔下了被打破概率为0.4，若第一次扔下未打破，第二次扔下被打破概率为0.6，若第二次扔下未打破，第三次扔下被打破概率为0.9，今将这种包装了的器皿连续扔三次，求器皿被打破A的概率。 解：设Ai表示第i次扔下器皿被打破事件（i=1，2，3） (1) P(A)==1－P( ) =1－