信号与系统第3章-new.pptVIP

* 3.6 用DFT计算线性卷积 1.引入 实际问题 即信号通过线性时不变系统h(n)后的响应y(n)是线性卷 积运算。 若做卷积的两序列都是有限长序列，能否用它们的圆周 卷积结果代替它们的线性卷积结果呢? 圆周卷积与线性卷积的关系是什么? 线 性 时不变系统 h(n) y(n)=x(n)*h(n) x(n) * 2.用圆周卷积计算线性卷积的条件 设有限长序列x1(n) (0≤n≤N1-1)，x2(n) (0≤n≤N2-1) 1）线性卷积 长度： 2）圆周卷积 把x1(n)、x2(n)补零点至L 点, L ≥max(N1, N2)，即 * L点圆周卷积yc(n)是线性卷积yl(n)以L为周期的周期延拓 序列的主值序列。 * 结论：当L ≥N1+N2-1时，圆周卷积可以代替线性卷积 * 图3-16 有限长序列的线性卷积与圆周卷积 * L=6N1+N2-1 L=8=N1+N2-1 * 3.用圆周卷积计算线性卷积的方法 取L≥N1+N2-1，圆周卷积代替线性卷积的框图为 图中DFT与IDFT子程序可以共用，而且通常用快速算法（FFT）来实现，故圆周卷积也称为快速卷积。 y(n) L点DFT 补L-N1个零 L点DFT L点IDFT x1(n) 补L-N2个零 x2(n) * 3.7 用DFT进行频谱分析 DFT的最初引入就是为了使数字计算机能够帮助分析连 续时间信号的频谱。 DFT的快速算法——快速傅里叶变换（FFT）的出现使 得DFT这种分析方法具有实用价值和重要性。 图3-18 时域连续信号DFT分析的基本步骤 * 1. 分析 设:对连续非周期信号进行时域抽样，抽样间隔为T(时域);对其连续非周期性的频谱函数进行频域抽样, 频域抽样间隔为 F(频域)； 时域抽样，频域必然周期延拓；且延拓周期为时域抽样的频率值,即频域周期 fs = 1/ T; 频域抽样，对应时域按频域抽样间隔的倒数周期延拓, 即 Tp = 1/F； 对无限长的信号，计算机是不能处理的, 必须对时域与频域做截断,若时域取N点,则频域至少也要取N点。 (参见频域抽样不失真条件)。 * 图3-22 用DFT方法分析连续信号频谱的原理示意图 * 二、用DFT进行谱分析的误差问题 1.混叠效应 利用DFT逼近连续时间信号的傅里叶变换，为避免混叠 失真，按照抽样定理的要求，采样频率至少是信号最高频率 的两倍。 解决混叠问题的唯一方法是保证采样频率足够高。 用DFT逼近连续非周期信号的傅里叶变换过程中除了对幅度的线性加权外,由于用到了抽样与截断的方法,因此也会带来一些可能产生的问题，使谱分析产生误差。 如:混叠效应,截断效应,栅栏效应等. * ■频谱分析宽度与频率分辨率 抽样间隔F（频率分辨力）是记录长度的倒数，即 若抽样点数为N，则频率分辨率F与fs的关系为 在N给定时，为避免混叠失真而一味提高抽样频率，必 然导致F增加，即频率分辨力下降； 反之，若要提高频率分辨力即减小F，则导致减小fs， 最终必须减小能分析的信号带宽。 在fc 与F参数中，保持其中一个不变而使另一个性能得 以提高的唯一办法，就是增加记录长度内的点数N 。 * 例3-9对实信号进行谱分析，要求谱分辨率F≤10Hz，信 号最高频率fc=2.5 kHz， 试确定最小记录时间Tpmin， 最大的 采样间隔Tmax，最少的采样点数Nmin。 如果fc不变， 要求谱 分辨率增加一倍，最少的采样点数和记录时间是多少? 解： 因此Tpmin=0.1 s， 因为要求fs≥2fc， 所以 * * 2.截断效应（频谱泄露） 在实际中，要把观测的信号x(n)限制在一定的时间间隔 之内，即采取截断数据的过程； 时域的截断在数学上的意义为原连续时间信号乘上一个 窗函数（通常，简单的截取信号就相当于乘的是矩形窗）； 根据傅里叶变换的卷积定理，信号加窗后的频谱相当于 原信号频谱与窗函数的频谱在频域作卷积。显然，这种卷积 过程将造成信号频谱的失真。 如果信号所乘的是矩形窗函数，失真频谱将产生“拖 尾”（频谱延伸扩展）现象——原有受限的频谱图形“扩 展”开来，这就称之为频谱泄漏。 * 分析 设原信号为x(n) 截